Lineær Algebra Differentialligninger

18. STABILITET 113
Eksempel 3.[Eksponential af matrix]
Lad A være en n×n-matrix og lad Y(x) være en n×n-matrix af funktioner.
Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet
er en n × n-matrix af funktioner
dY
dx
= AY
Y(0) = In
Y(x) = exp(Ax)
som kaldes eksponentialet.
Hvis A er en diagonalmatrix med diagonalindgange λ1, . . .,λn, s˚a er eksponentialet
exp(Ax) diagonalmatricen med diagonalindgange e λ1x , . . .,e λnx .
Hvis matricen U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier
λ1, . . .,λn, Auj = λjuj, s˚a er
A = UΛU −1
udtrykt ved diagonalmatricen Λ og eksponentialet kan beregnes ved
18 Stabilitet
exp(Ax) = U exp(Λx)U −1
Da det normalt ikke er muligt at løse en differentialligning ved et eksplicit
funktionsudtryk, er det vigtigt at kunne beskrive en løsnings egenskaber
p˚a anden vis. Her kommer begreberne ligevægt og stabilitet til deres ret.
I s˚adanne punkter er en tilnærmelse med en lineær differentialligning ofte
meningsfuld. Den følgende opremsning er ultra kort og bør opfattes som en
smagsprøve. Eksemplerne refererer til [Stewart].
Definition 1. En differentialligning
kaldes autonom.
dy
dx
= F(y)