Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Note, by the Pollaczek-Khinchine formula (4.9), that the ultimate ruin probabilities are
independent of c, once ρ is fixed (since they are completely determined by φ(s)). The classical
Cramer Lundberg model is thus overparameterized as far as ultimate ruin probabilities are
concerned, and by scaling time we may normalize any nonzero parameter like c or λ to be 1.
Exercice 4.7.1 Soit Y (t) un processus de Cramér-Lundberg Y (t) = u+c t−C(t), C(t) =
∑ N(t)
i=1 Z i, où N(t) est un processus de Poisson d’intensité λ = 1, et les sinistres Z i ont une
distribution hyperexponentielle ¯F(x) = 1 6 e−2x + 5 6 e−6x .
a) Calculez l’espérance des sinistres m 1 = EZ 1 et le taux de profit p = c − λm 1 , si le
taux de cotisation est c = 3m 1 /2.
b) Calculez la probabilité de ruine ψ(u), à partir de la formule de Pollaczek-Khinchin
pour sa transformée de Laplace
ψ ∗ (s) = 1 s − p
κ(s) ,
où le symbole/exposant de Lévy est κ(s) = s ( c − λ ¯F ∗ (s) ) . R : 5 9 e−x + 1 9 e−4x
Exercice 4.7.2 Calculez la probabilité de ruine ψ(u) pour un processus de Cramér-Lundberg
Y (t) = u+c t−C(t), C(t) = ∑ N(t)
i=1 Z i, où N(t) est un processus de Poisson d’intensité λ =
1, c = 8/5m 1 , et les sinistres Z i ont une distribution hyperexponentielle ¯F(x) = 1 4 e−2x + 3 4 e−4x .
Exercice 4.7.3 Calculez la probabilité de ruine ψ(u) pour un processus de Cramér-Lundberg
Y (t) = u + c t − C(t), C(t) = ∑ N(t)
i=1 Z i, où N(t) est un processus de Poisson d’intensité
λ = 1, c = 10/7m 1 , et les sinistres Z i ont une distribution hyperexponentielle ¯F(x) =
1
9 e−2x + 8 9 e−5x .
Exercice 4.7.4 Calculez la probabilité de ruine ψ(u) pour un processus de Cramér-Lundberg
Y (t) = u + c t − C(t), C(t) = ∑ N(t)
i=1 Z i, où N(t) est un processus de Poisson d’intensité
λ = 1, c = 4/3m 1 , et les sinistres Z i ont une distribution hyperexponentielle ¯F(x) = 1
15
16 e−6x .
16 e−2x +
Exercice 4.7.5 Calculez la probabilité de ruine ψ(u) pour un processus de Cramér-Lundberg
Y (t) = u+c t−C(t), C(t) = ∑ N(t)
i=1 Z i, où N(t) est un processus de Poisson d’intensité λ =
1, c = 5/3m 1 , et les sinistres Z i ont une distribution hyperexponentielle ¯F(x) = 1 3 e−2x + 2 3 e−5x .
Remarque 4.7.1 The formula (4.15) may be expanded in a geometric series, leading finally
to the ”Benes ladder decomposition formula” :
with
ψ(x) =
∞∑
(1 − ψ(0))ψ(0) n b e (x) ∗n (4.21) BPK
n=1
ψ(0) = λEC 1
c
= (1 + θ) −1 := ρ
(the idea behind this is that the appearance of each new ladder is equivalent to the event of
ruin starting from 0).