Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
(e) En supposant maintenant que les états 1, 2n − 1 deviennent absorbants, calculer
les probabilités de ruine ψ(k) et l’espérance du temps T = min[T(1), T(2n −1)].
4. La marche paresseuse : Soit X n = X 0 + Z 1 + Z 2 + · · · + Z n une marche aléatoire
sur Z, avec (Z n ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi
P [Z n = ±1] =p/q et P [Z n = 0] =1- p-q, avec 0 < p+q < 1. Pour tout x de N, on note
par E x l’espérance en commençant de x (conditionnant sur X 0 = x). Nous arrêtons le
processus au temps d’arrêt T auquel le processus sort de l’intervalle [0, K] pour 0 < K
donnés.
Obtenez l’équation de récurrence et les conditions frontière satisfaites par p x =
P x {X T = K}, f x = E x X T , t x = E x T, c x = E x [ ∑ T
0 X(t)] et w x = E x a T .
Résolvez les équations de récurrence qui en résultent pour a) p x , b) f x , c) t x , d) c x et
e) w x , quand p = q < 1/2.
5. a) Quelle est la probabilité que la marche aléatoire simple est de retour en 0 après 2n
pas? b) Approximer cette quantité par la formule de Stirling lim n→∞
n!
(n/e) n√ n = √ 2π.
c) (*) Démontrez la formule de Stirling.
6. (*) Marc et un groupe de n − 1 amis jouent un jeu. Chacun met un euro, et ensuite
lance une monnaie biaisée, avec une probabilité de sortir ”face” égale à p. La totalité
de l’argent est partagé égalemment entre ceux qui ont obtenu face (s’il n’y a aucune,
l’argent est donné à une oeuvre charitaire), et les piles perdent leur argent. a) Quelle
est l’espérance du capital de Marc, après un tour? b) (*) Quelle est l’espérance du
capital après un tour pour un joueur choisi aléatoirement?
Solutions :
1. (a) C’est une équation nonhomogene, alors nous aurions :
t i = ˜t i + A2 i , ˜t i = c 1 i + c 2 avec c 1 i + c 2 = 2(c 1 i − c 1 + c 2 ) + i − 1
et alors c 1 = 2c 1 + 1 et c 1 = −1
(b) C’est une équation nonhomogène, alors :
c 2 = −2c 1 + 2c 2 − 1 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
= −i − 1 + 2 i
t i
t i = ˜t i + A2 i , ˜t i = ci2 i avec ci2 i = 2(c(i − 1)2 i /2) + 52 i
et alors c = 5, t i = 5i2 i + A2 i et finalement,
t 0 = = 0 = A et A = 0
= 5i2 i
t i
(c) C’est une équation differentielle nonhomogène et l’equation quadratique attachée
a les racines 1, 2, alors nous aurions :
t i = ˜t i + A 1 2 i + A 2 , ˜t i = ci avec ci = 3(ci − c) − 2(ci − 2c) + 2