Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
et B 2 , correspondant aux états (4, 5) (qui conduisent l’un à l’autre aussi) sont des matrices
stochastiques, et B 1 , correspondant aux transitions entre les états transitoires ((2) est une
matrices sous-stochastique.
Il y’a ici deux pathologies :
1. il existe un élément “transitoire” 2 (qu’on peut quitter sans retour pour toujours)
2. le graph de communication se décompose en deux classes : (1, 3) et (2, 4, 5) qui ne
communiquent pas et la matrice de transition a une structure block diagonale, appellée
“réducibilité” en probas.
Le fait que la réducibilité se traduise dans une structure de matrice à ”bloques”, montre
immédiatement qu’on peut traiter (1, 3) et (2, 4, 5) séparément. Aussi, en enlevant l’élément
“ transitoire” 2, il nous restent deux ”classes de communication fermées”, (1, 3) et (4, 5),
appellées ”classes de récurrence”, ⎛où on reste pour toujours ⎞ une fois entré.
A n 0 0
On verifie facilement que : P n = ⎝ 0 B1 n B 1,2,(n)
⎠
0 0 B2
n
en reflexion du fait qu’on peut étudier les trois chaînes correspondant aux A, B 1 et B 2
séparément.
Concernant la matrice B 1 contenant les probabilités de transition entre les éléments
transitoires (appellée aussi projection de la matrice P sur la réunion des classes transitoires),
remarquons d’abord que elle est une matrice sous-stochastique.
Définition 1.6.1 Une matrice Q s’appelle sous-stochastique si la somme deséléments de
chaque ligne est ≤ 1, avec inegalité stricte dans au moins une ligne.
Théorème 1.6.1 Toutes les valeurs propres d’une matrice sous-stochastique Q ont valeurs
absolues inferieurs à 1. Par conséquent
lim
n→∞ Qn = 0
i.e. la limite des probabilités de transition entre les états transitoires est 0.
On verifie ici que P n (2, 2) = (1/2) n , en illustrant le théorème ci-dessus. En conclusion,
⎛
⎞
1 1
0 0 0
2 2 1 1
0 0 0
P = lim P n 2 2 =
n→∞ ⎜ 0 0 0 x 1 x 2
⎟
⎝
1 2
0 0 0 ⎠
3 3
1 2
0 0 0
3 3
Il reste encore à déterminer x 1 , x 2 . Une approche directe par un systéme des récurrences
nous montrera que ces deux quantités sont aussi x 1 = 1 3 , x 2 = 2 3 .
En general, ce dernier problème peut être abordé algébriquement via la décomposition
spectrale, ou par une approche probabiliste qui décompose la vie d’une particule dans la
partie qui précede l’absorbtion, et la partie qui s’ensuit.
Définition 1.6.2 Soit i un élément transitoire d’une chaîne X n , et soit j un élément apartenant
à une classe de récurrence ĵ. On appelera probabilité d’absorbtion p i (ĵ) la probabilité
que la chaîne commençée en i finisse en ĵ.