Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

3.8 Les probabilités transitoires des processus de naissance et mort
Le calcul de la distribution stationnaire des processus de naissance et mort de générateur
⎛
⎞
−λ 0 λ 0 0 · · · 0
µ 1 −λ 1 − µ 1 λ 1 0 .
G =
0 µ 2 −λ 2 − µ 2
.. . 0
⎜
⎝ . 0 µ 2
.. .
.. . ⎟
⎠
.
.
.. .
.. .
est très simple, en utilisant le système d’équilibre local :
π n λ n = π n+1 µ n+1 ⇐⇒ π n+1 = π n ρ n+1 ⇐⇒ π n = π 0
n
∏
Par contre, les probabilités transitoires sont deja assez compliquées à obtenir analytiquement
même dans le cas le plus simple de la file M/M/1 (la marche aléatoire simple en temps
continu sur N), pour la quelle ils impliquent des fonctions de Bessel.
On peut quand même obtenir facilement les transformées de Laplace des probabilités
transitoires. Illustrons maintenant le calcul des transformées de Laplace, à partir des
èquations de Chapman-Kolmogorov.
Soit p j (t) := P 0,j (t) les probabilités transitoires en partant de l’état initial i = 0, et soit
p j := p ∗ j(s), j = 0, 1, 2, ... leurs transformées de Laplace.
Les équations de Kolmogorov P ′ = PG pour la première ligne sont
p ′ 0 (t) = −λ 0 p 0 (t) + µ 1 p 1 (t), p 0 (0) = 1
p ′ j(t) = λ j−1 p j−1 (t) − (λ j + µ j ) p j (t) + µ j+1 p j+1 (t), p j (0) = 0, j = 1, 2...
Les transformées de Laplace p ∗ j(s) satisfont une récurrence de deuxième ordre :
λ j−1 p ∗ j−1 − (s + λ j + µ j ) p ∗ j + µ j+1 p ∗ j+1 = 0, j = 1, 2...
µ 1 p ∗ 1 − p ∗ 0 (s + λ 0 ) + 1 = 0
La resolution des récurrences de deuxième ordre (même avec coefficients nonconstants)
est toujours possible en itérant. On reorganise la récurrence comme : ”désiré” +
”reporté”= ”connu”, en l’occurence :
p ∗ j(s + λ j + µ j − µ j+1
p ∗ j+1
p ∗ j
On arrive ainsi au système :
) = λ j−1 p ∗ j−1 ⇐⇒ p∗ j
p ∗ j−1
=
λ j−1
s+λ j +µ j −µ j+1
p ∗ j+1
p ∗ j
i=1
.
ρ i
p ∗ 0 =
1
s + λ 0 − µ 1
p ∗ 1
p ∗ 0
p ∗ j
p ∗ j−1
=
λ j−1
s + λ j + µ j − µ j+1
p ∗ j+1
p ∗ j
, j = 1, ...,