Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Or, on sait que p 11 (0) = 1 donc C =
α
α + β d’où : p 11 (t) = 1 ( )
β + αe
−(α+β)t
α + β
Avec (5), on a alors : p 12 (t) = 1 ( )
α − αe
−(α+β)t
α + β
En procédant de même, les équations (3) et (6) donnent :
p ′ 21 (t) = −αp 21 (t) + β (1 − p 21 (t)) i.e. p ′ 21 (t) + (α + β)p 21 (t) = β
d’où p 21 (t) =
β
α + β + C ′ e −(α+β)t avec C ′ ∈ R.
Comme p 21 (0) = 0 on obtient C ′ = −
β
α + β d’où : p 21 (t) = 1 ( )
β − βe
−(α+β)t
α + β
Et avec (6), on a : p 22 (t) = 1 ( ) α + βe
−(α+β)t
et on retrouve P t .
α + β
1.4.2 Résolution des èquations de Chapman-Kolmogorov pour le
processus de Poisson ; le calcul de l’exponentielle des matrices
triangulaires (*)
Considerons le processus de Poisson Markov homogène (X t ) t≥0
d’intensité λ ≥ 0, de
⎛
⎞
−λ λ 0 · · · 0
0 −λ λ 0 .
générateur G =
0 0 −λ . . . 0
⎜
.
⎝ . 0 .. . .. ⎟
⎠
.
. . .. . ..
Fixons l’état initial i = 0 et posons P 0,j (t) = p j (t). Les équations de Kolmogorov avant
P ′ = PG pour la première ligne sont
p ′ j(t) = ∑ k≠j
p k (t) g k,j − p j (t) ∑ k≠j
g j,k
Note : En ecrivant ces équations comme p j (t + h) = P k≠j p k(t) g k,j h + p j (t)(1 − h P k≠j g j,k) on voit que c’est encore des
équations de conditionnement.
Pour le processus de Poisson, ces équations sont :
{
p
′
0 (t) = −λp 0 (t)
p ′ j (t) = λ (p j−1 (t) − p j (t)) si j ≠ 0
On sait aussi que p j (0) = 0 si j ≠ 0 et p 0 (0) = 1.
On a donc un système différentiel pour déterminer les p j , qui peut être resolue recursivement
:
→ Pour j = 0 : {
′
p 0 (t) = −λp 0 (t)
⇒ p
p 0 (0) = 1
0 (t) = e −λt
→ Pour j = 1 :
{
p
′
1 (t) = λ (p 0 (t) − p 1 (t))
p 1 (0) = 0
⇔
{
p
′
1 (t) + λp 1 (t) = λe −λt (∗)
p 1 (0) = 0