Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Théorème 1.5.4 a) Pour une chaîne de Markov absorbante à matrice de transition Q
0 I
les distributions du temps d’absorbtion N sont données par :
b) Avec distribution initiale β, on a :
p(k) = (Q) k−1 (T ,∂)
P
∞∑
P(k) = (Q) k , z k P(k) = (I − Q) −1
P{N = k}
c) Avec distribution initiale β, on a :
k=0
= β(Q) k−1 (T ,∂)
P
P{N > k} = β(Q) k 1
(T ,∂)
P
ϕ N (z) = ∑ k
z k P{N = k} = β(I − zQ) −1 1
d) Les transformées de Laplace l satisfont :
Ql − sl + 1 = 0
Exercice 1.5.13 Démontrez le théorème. Ind : Les matrices p(k), P(k) satisfont les recurrences
:
p(k) = Qp(k − 1), et P(k) = QP(k − 1)
qui ramènent (en itérant) au résultat :
Démonstration alternative : I N=k = ∑ x 0 ,x 1 ,...,x k−1 ∈T ,y∈∂ I X 0 =x 0 ,X 1 =x 1 ,...,X k−1 =x k−1 ,X k =y∈∂∈T .
Dès lors,
P x0 {N = k, X k = y} =
∑
x 1 ,...,x j−1 ∈T
Q x0 ,x 1
Q x1 ,x 2
...Q xk−2 ,x k−1
P (tr)
x k−1 ,y = (Q)k−1 P (tr) (x 0 , y)
Les résultats sont obtenus en prenant somme en y et somme en x 0 , ponderé par les poids
β.
Exercice 1.5.14 Démontrez que
EN = ∑ k
P{N > k}
Rémarque : Ce théorème nous fournit une deuxième démonstration du Théorème 1.5.1
c) :
EN = ∑ k
P{N > k} = β(I − Q) −1 1