Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Corollaire 1.5.4 Les ccdfs des temps d’absorbtion ¯F i (t) = P i [τ > t] d’un processus de
Markov avec un état absorbant, à matrice génératrice (de taux de transitions) donnée par :
( )
G = B b
0 0
,
sont :
et les densités sont
où b = (−B)1.
¯F = e tB 1
f = e tB b
Exercice 1.5.8 Obtenez par conditionnement sur la position après un interval très petit les
transformés de Laplace
l i (s) = f ∗ i (s) = E ie −sτ =
∫ ∞
0
e −st f i (t)dt
des temps d’absorbtion d’un processus de Markov avec un état absorbant, à matrice génératrice
(de taux de transitions) donnée par :
( )
G = B b
0 0
.
Sol : Les équations sont
{ ˜Gl − sl = 0
l i = 1,
∀i ∈ ∂
⇐⇒ Bl + b − sl = 0,
l = (sI − B) −1 b
Avec une distribution initiale β, on trouve
Ee −sτ = β(sI − B) −1 b.
Exercice 1.5.9 Soit X = (X t ; t ≥ 0) un processus de Markov en temps continu, à matrice
génératrice donnée par :
( )
G = −β0 β
b B
où b = (−B)1 et β 0 = β 1. Montrez que le temps de retour au premier état, en partant
du moment qu’on le quitte, a transformée de Laplace : ˆb[s] = β (sI − B) −1 b et ésperance
¯b = b (−B) −1 1, et que la probabilité stationnaire de cet état satisfait π0 −1 = 1 + ¯b
Note : Dans le cas b 0 = 1, on retrouve la bien-connue rélation du cas du temps discret π −1
0 = ET 0 , où T 0
est le temps total de retour au premier état.
En conclusion, on a toutes les transformées
l i (s) = ( (sI − B) −1 b ) i , ∀i ∈ T .
Il est quand même profitable de reformuler ce résultat en fonction de la matrice
géneŕatrice G.