Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
6. E 0 [ ¯T 0 ] où ¯T 0 représente le temps esperé jusqu’à la prochaîne visite de 0 en commencant
de 0, est donné par 1 + t a = 1 + 7 = 8. A remarquer que c’est exactement l’inverse
de la probabilité ”de long parcour” d’être à 0,ce qui est un résultat bien connu sur les
temps de retour espérés.
7. Soit p k la probabilité d’avoir exactement k visites à U = (1, 1, 1) avant de retourner à
0. Alors p 0 c’est le même que la probabilité commencant en A que la marche revient à
0 avant de visiter (1, 1, 1), qui est 3.
5
Pour k = 1 visites, ”le chemin” observé seulement en O, l’état aprés B et U” est
A,U,B,0. Donc, p 1 = P A [U, B, 0] = ( 2 5 )2 , p 2 = P A [U, B, U, B, 0] = ( 2 5 )2 ( 3 ), et en général
5
p k = 3p 5 k−1 = ( 2 5 )2 ( 3 5 )k−1 , k ≥ 2. La distribution pour k ≥ 1 est geometrique (verifiez
que ∑ ∞
k=1 p k = 2 , comme il faut).
5
Exercice 1.2.8 Un spéolog est perdu dans une grotte, avec deux sorties U, O, les chemins
de la quelle forment le graphe papillon ci-dessous. Il se trouve à present dans le point A, et à
cause de la manque de visibilité, est obligé a faire une marche aléatoire entre les sommets
du papillon. Cette marche finira en U avec la liberté ou en O avec la mort.
1. Calculez la probabilité de survie du spéolog.
2. Calculez l’espérance du temps T qu’il lui reste a passer dans la grotte, en sachant que
les chemins menant à U prennent deux heures, ceux menant à O trois heures, et les
autres 5 heures.
3. La grotte contient aussi un génie, qui frappe le spéolog des nb. aléatoires, ayant une
distrbution de Poisson des coups, avec esperance 3 sur les chemins menant à U, 5 pour
ceux menant à O, et 2 pour les autres chemins. Calculez l’espérance du nombre des
coups que le spéolog prendra dans la grotte.
4. (*) Calculez la variance et la distribution du nombre des coups que le spéolog prendra
dans la grotte.
5. Etant donnée une chaîne finie avec des états absorbants, calculer le vecteur T = (t i =
E i [T], i ∈ T ).
O
U
B
A
Fig. 1.2 – Marche aléatoire simple sur le graphe papillon
C
Sol : 5. T = (I − Q) −1 Q × H ˜T où ˜T est la matrice des temps ˜Ti,j pour traverser de i à
j et × H denote le produit composante par composante.
Exercice 1.2.9 Calculez, par la méthode des fonctions génératrices :
a) T(z) = ∑ n≥0 T nz n , où
T 0 = 0, T n = 2T n−1 + 1, n ≥ 1