Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

3.7 Exercices
1. Soit X t une file M(λ)/M(µ)/1.
a) Donnez la matrice génératrice pour le processus X t .
b) Indiquer les valeurs des probabilités p et q pour que le nombre des clients augmente/diminue,
au moments du premier saut à partir d’un état n ≥ 0.
c) Calculez la distribution stationnaire de X t .
d) Calculez en utilisant un système de conditionnement l’ésperance en sortant de 0 du
temps ˜T 0 jusqu’au premier retour en 0.
2. Supposons que le nombre de clients X s en attente dans une file M(λ)/M(µ)/1 a atteint
à un temps fixé 0 sa distribution stationnaire, i.e. P[X 0 = k] = ρ k (1 −ρ), k = 0, 1, 2, ...,
où ρ = λ µ .
Un client qui arrive au temps 0 restera dans le sytème pour un temps total (attente +
service) T = ∑ X 0 +1
i=1
S i , où S i , i = 1, ..., X 0 + 1 sont les temps de services du client et
de ceux qu’il trouve en attente dans la file.
a) Calculez la transformée de Laplace, l’éspérance et la distribution du temps T dans
le système du client qui arrive au temps 0.
b) (*) Il s’avère que les clients en attente dans le tampon au temps 0 ont été infestés
chacun par des extraterestres, de telle manière que chacun donnera naissance tout au
long de son attente à des nouveaux extraterestres, après des temps exponentiels de taux
λ. Soit B i (t) le nombre d’extraterestres produits par le client i. Quel est l’espérance
du nombre total Z(t) = ∑ X 0
i=1 B i(t) des extraterestres produits du temps 0 au temps t
par les clients infestés?
3. Pour X s un processus Poisson à taux λ, conditionné sur X 0 = x, et T le temps de la
première arrivée, calculez la transformé de Laplace ˆf T [δ] = Ee −δT , δ ≥ 0 et le coût
total de stockage discompté
∫ ∞
v δ (x) = E x e −δs X s ds
Indication : Utilisez la décomposition X s = x + Y s , ou Y s est un processus Poisson
conditionné sur Y 0 = 0. Soit T (0) le moment du premier saut. Alors, Y T (0) +s = 1 + Y s .
4. Calculez la la distribution stationnaire du nombre de clients dans la file M/M/s (π n =
−ρ ρn
e , n = 0, ...s; π n! n+k = π n ( ρ s )k Po(ρ,s−1)
, k = 0, ..., π(s) =
ρ ) s
0
Po(ρ,s−1)+e −ρ
s!(1−ρ/s)
5. Soit X le nombre de clients dans une file M/M/1, et soit X q le nombre de clients qui
attendent d’être servis. Calculez EX , EX q , Var X et VarX q .
6. Trouvez la distribution stationnaire du temps d’attente W dans les file M/M/s,
M/M/∞, et leurs transformées de Laplace.
7. Trouvez la fonction génératrice des moments du temps de séjour total d’un client dans
une file M(λ)/M(µ)/1, en supposant que la file est en regime stationnaire. Indication :
Utilisez la distribution stationnaire de la file M(λ)/M(µ)/1, et la question précédente.
8. Est-ce-que l’espérance stationnaire du séjour totale d’un client dans une file M(λ)/M(2µ)/1
est plus grande que celle d’un client dans une file M(λ)/M(µ)/2? Justifiez votre reponse.