Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
dénotera par E i l’esperance en commençant de i (conditionnant sur X 0 = i), et on designe
par E l’événement que le joueur gagne, i.e.
E = {x T = B} = [∃n ∈ N tel que X n = B, X k > 0, k = 1, ..., n − 1].
Pour tout i de {0, ..., B}, on pose :
(la probabilité du ”bonheur”).
b i = P (E | [X 0 = i])
1. En supposant B = 3, esquisser l’espace de tous les chemins du bonheur qui
commencent avec X 0 = 1. Expliquer graphiquement les équations b 1 = 1/2b 2 , b 2 =
1/2b 1 + 1/2. Calculer b 0 , b 3 et b 1 , b 2 .
2. En supposant B = 4, calculer b 1 , b 2 et b 3 .
3. Calculer b i , i = 0, ..., B pour B quelconque.
4. Calculez l’espérance du nombre des pas du jeux, pour B quelconque.
5. Etant donnée une chaîne finie avec deux états absorbants p,g et le reste des états
transitoires, calculer le vecteur b = (b i = P i [X T ] = g, i ∈ T ).
R : On pourrait essayer de calculer b i en ajoutant les probablités de tous les chemins du
bonheur qui commencent avec X 0 = 1 (en regardant l’arbre de toutes les possibilités). Mais
comme cet arbe est (typiquement) infini et très compliqué, cette analyse n’est pas facile. Par
contre, une approche ”divide et conquerie” de décomposition de l’arbre dans ses branches
obtenues en conditionnent sur le premier pas ramm‘ene à des’équations linéaires faciles à
résoudre.
Cet exercice illustre trois idées :
1. L’avantage de la méthode du conditionnement sur le premier pas.
2. Le calcul des esperances pour les chaînes de Markov comporte des systèmes linéaires
avec une inconnue pour chaque état initial possible.
3. Les systèmes associés avec un processus fixe implique toujours la même partie homogène
appellée ”operateur” (dans le cas des chaînes de Markov en temps discret et
à espace d’états fini ou dénombrable, l’ operateur est simplement P − I, où P est la
matrice de transition P).
Ces idées seront aprofondies dans les chapitres suivants, où nous regarderons quelques
autres problèmes résolubles par le conditionnement sur le(s) premier(s) pas.
1.2.3 Les systèmes linéaires associés à quelques problèmes de premier
passage pour les chaînes de Markov
Exercice 1.2.5 On lance une monnaie biaisée, avec la probabilité de sortir face égale à q et
celle de sortir pile égale à p = 1 − q, jusqu’à ce qu’on obtient une pile. Soit N (1) le nombre
de faces précedant la première pile (N (1) = 0, 1, 2, ...). Par exemple, si X 1 = F, ...X j−1 = F
et X j = P, j ≥ 1, la valeur de N (1) est j − 1.
1. Calculez p k = P[N (1) ] = k, k = 0, .... Quelle est la loi (distribution) de N (1) ?
2. Trouvez les moments m 1 = EN (1) , et m 2 = E(N (1) ) 2 par la méthode du conditionnement
sur le premier pas, en utilisant la relation L(N (1) |X 1 = F) = L(1 + N (1) ) (qui
est une conséquence de la décomposition ”premier pas + le reste”
N (1)′ = 1 + N ′