Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

(c) En résolvant le système d’absorbtion pour p A , p B , p C , on trouve p A = 3/4, p B =
1/2, p C = 1/4. 5) Soit p A,k = P A {exactement k visites en U avant le retour en O},
avec p B,k , p C,k définies pareillement, et p k = (p A,k , p B,k , p C,k ).
Ainsi, p 0 = (p A , p B , p C ) et p 0 = 1 (p 2 A,0 + p B,0 ) = 1 (p 2 A + p B ).
Pour k ≥ 1, on trouve :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
0 1/2 0 0 0 0
p k = ⎝1/4 0 1/4⎠ p k + ⎝0 1/8 1/8⎠p k−1
0 1/2 0 0 1/8 1/8
⎛
⎞−1 ⎛ ⎞
1 −1/2 0 0 0 0
⇐⇒ p k = ⎝−1/4 1 −1/4⎠
⎝0 1/8 1/8⎠ p k−1
0 −1/2 1 0 1/8 1/8
⎛ ⎞
0 1/8 1/8
⇐⇒ p k = ⎝0 1/4 1/4⎠p k−1
0 3/8 3/8
⎛
1 0
⎞
1/3
Les vecp à droite sont les colonnes de ⎝0 −1 2/3/ ⎠, les valp correspondantes
0 1 1
sont : 0, 0, 5/8 et le vecp de PF à gauche est : (0, 3/5, 3/5).
⎛ ⎞
1/5
Dés lors, p k = (5/8) k−1 (p B + p C ) ⎝2/5⎠ et p k = (5/8) k−1 (p B + p C )3/10
3/5
1.8 Fiabilité pour les processus semi-markoviens de
sauts
Un processus markovien de renouvellement est défini par une suite des pairs des variables
{(X n , T n ), X n ∈ E = {1, 2, ...}, T n ∈ R + , n ≥ 0}
representant respectivement les positions d’un processus de sauts sur un ensemble fini ou
dénombrable E, et les temps de transition. Les distributions jointes de X n et des temps de
transition entre les sauts sont définies par des ”noyaux”
A n (t) = {K i,j,n (t) = P[X n+1 = j, T n+1 − T n ≤ t|X n = i], i, j ∈ E, n ≥ 0}
tq les matrices P n := A n (∞) sont stochastiques, et les fonctions F i,j,n (t) = A i,j,n (t)/A i,j,n (∞)
sont nondecroissantes, continues à droite.
Nous traiterons seulement le cas homogène, défini par un seul noyau
A(t) = {A i,j (dt) = P[X n+1 = j, T n+1 − T n ≤ t|X n = i], i, j ∈ E}, ∀n ≥ 0.
Soit A ∗ (z) la matrice des transformées de Laplace/transmittances.
Le noyau factorise donc en deux composants
{A i,j (t) = P i,j F i,j (t), i, j ∈ E},
qui representent respectivement les distributions de la chaîne X n des sauts, et les distributions
des temps de transition entre les sauts T n .