Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

distribution stationnaire π ∞ de la seule classe récurrente, et a ”l’étendre” par des zeros sur
les classes transitoires. En suite on utilise la formule
P = 1 p
où p est le vecteur π ∞ completé avec des zeros. Rémarquons encore que 1, p sont des vecteurs
propres à droite et gauche, normalisés tel que p est un vecteur des probabilités et tel que
< p,1 >= 1, et donc la décomposition ci-dessus est un cas particulier de la forme specifiée
en (1.17).
La distribution limite dans le cas purement absorbant
Un autre ( cas ) simple est celui des chaînes qui n’ont que des états récurrents absorbants,
Q T
où P = et où T contient comme colonnes les probabilités d’absorption immédiate
0 I
dans les états absorbants.
Nous savons que P est de la forme
P =
( ) 0 X
0 I
En utilisant PP = P, on trouve explicitement, la solution est
X = (I − Q) −1 T = P (abs)
qui est précisément la formule de la matrice des probailités d’absorption (pratiquement, il est
plus convenable de les obtenir en résolvant le ”système d’absorption” trouvé en conditionnant
sur le premier pas.
Lemma 1.6.1 Pour une chaîne absorbante, les probabilités limite P (abs)
i,j := P i,j , ∀i transitoire,
∀j absorbant sont égales aux probabilités d’absorption p i (j) = P i {X τ = j}.
En conclusion, on trouve que la matrice limite est
( )
0 P
(abs)
P =
0 I
Exercice 1.6.6 Que devient la décomposition spectrale (1.17) et les vecteurs propres à droite
et gauche de la valeur 1 dans le cas absorbant?
Solution : Cherchons à trouver un vecteur propre à droite v j et un vecteur propre à
gauche π j pour chaque élément absorbant j.
On trouve π j = e j = (0, 0, ..., 1, ..., 0). Décomposant v j = (v t , 0, 0, ..., 1, ..., 0) on trouve
v j = p j , où p j sont les probabilités d’absorbtion dans la classe j.