Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

toujours à des sommes closes. Une somme S n = ∑ n
1 f n est une solution d’une relation
de recurrence de premier ordre S n − S n−1 = f n et donc la question de l’existence
des formules closes pour f n polynomes ou fonctions rationelles est un cas particulier
de la question de l’existence des formules closes pour les recurrences avec coefficients
polynomiaux.
Cette question est assez difficile, et le plus efficace est d’utiliser un logiciel symbolique.
Ceux ci nous informent s’il y a des formules closes dans la famille relativement simple
des solutions ”d’Alembertiennes”, ou si non.
1.2.8 Récurrences et équations differentielles linéaires à coefficients
constants
L’étude des marches aleatoires et des processus Markoviens ramène souvent à des
équations differentielles ou de récurrence linéaires. Le cas des coefficients constants est assez
simple, car toutes les solutions peuvent être construites à partir des solutions basiques
exponentielles e rx .
Comme le cas des équations differentielles à coefficients constants est très bien connu,
on rappelle ici seulement le cas de récurrences linéaires.
Les deux équations de récurrence linéaire de deuxième ordre ci-dessous
au n+2 + bu n+1 + cu n = 0, (1.6) rec
sont appelées homogène et nonhomogène respectivement.
av n+2 + bv n+1 + cv n = d n , (1.7) r1
L’équation homogène
Si les coefficients a, b et c sont constants, on sait qu’ils existent des solutions de la forme
u n = x n pour tout n ( fonctions exponentielles ). Pour trouver x on remplace x n en (1.6) et
on trouve que x doit satisfaire l’équation auxiliaire :
ax 2 + bx + c = 0. (1.8) quad
Soient x 1 et x 2 les deux racines de l’équation de deuxième degré (1.8). On en déduit que la
solution générale de (1.6) est toujours de la forme
1. Si x 1 ≠ x 2
u n = Ax n 1 + Bx n 2,
2. Si x 1 = x 2 ,
avec des constantes A et B.
u n = Ax n 1 + Bnxn 1 ,
Dans les deux cas A et B doivent être déterminées à partir des conditions supplémentaires
sur la frontière.
L’équation nonhomogène
La résolution du problème nonhomogène (1.7) comporte quatre pas :