Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
1.4.1 Résolution des èquations Chapman-Kolmogorov pour le processus
de Markov à deux états
On suppose que (X t ) t≥0
est une chaîne de Markov homogène à valeurs dans
( ) −α α
E = {e 1 , e 2 }, de générateur G =
avec α, β ≥ 0.
β −β
On est bien dans les conditions d’application du théorème 1-2 (E est fini). La chaîne
étant simple, on a deux méthodes pour la résolution des équations de Kolmogorov.
• Première méthode : on calcule e tG pour tout t ≥ 0. Pour cela, on va essayer de diagonaliser
G. Le polynôme caractéristique P G de G est donné par :
P G (λ) = det (G − λI 2 ) = λ (α + β + λ).
→ 1 er cas : α = β = 0
On a G = 0 donc e tG = I 2 pour tout t ≥ 0.
→ 2 ième cas : (α, β) ≠ (0, 0)
La matrice G admet 2 valeurs propres distinctes donc est diagonalisable.
Les valeurs propres sont 0 (avec −→ ( ) 1
v 1 = comme vecteur propre associé) et − (α + β)
1
(avec −→ ( ) α
v 2 = pour vecteur propre associé).
−β
( ) 1 α
En posant P = , on a P
1 −β
−1 = 1 ( ) β α
et
α + β 1 −1
( )
0 0
G = PDP −1 où D =
.
0 − (α + β)
On a alors :
P t = e tG = Pe tD P −1 = 1
α + β
( )
β + αe
−(α+β)t
α − αe −(α+β)t
β − βe −(α+β)t α + βe −(α+β)t
(on peut remarquer que P t est bien une matrice stochastique).
• Deuxième méthode (toujours pour (α, β) ≠ (0, 0) ) :
( )
p11 (t) p
on a : P t =
12 (t)
p 21 (t) p 22 (t)
On a P ′
t = P t G d’où :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p ′ 11 (t) = −αp 11 (t) + βp 12 (t) (1)
p ′ 12 (t) = αp 11 (t) − βp 12 (t) (2)
p ′ 21 (t) = −αp 21 (t) + βp 22 (t) (3)
p ′ 22 (t) = αp 21 (t) − βp 22 (t) (4)
De plus, comme P t est une matrice stochastique, on a :
{
p11 (t) + p 12 (t) = 1 (5)
p 21 (t) + p 22 (t) = 1 (6)
car e tD =
Les équations (1) et (5) donnent : p ′ 11 (t) = −αp 11 (t) + β (1 − p 11 (t)) i.e.
p ′ 11 (t) + (α + β)p 11 (t) = β donc p 11 (t) =
β
α + β + Ce−(α+β)t avec C ∈ R.
( 1 0
0 e −(α+β)t )