Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Demo : a) Comme A k est la somme de k variables exponentielles, elle a la densité
Gamma Γ(λ, k) donnée par : f Ak (t)dt = (λt)k−1
(k−1)! e−λt λdt. On a aussi :
f Ak (t)dt = P{A k−1 ≤ t, A k ≥ t, A k ≤ t + dt} = P{A k−1 ≤ t, A k ≥ t}λdt = P{N t = k − 1}λdt
b) Calcul direct pour k = 0, 1, ...
Exercice 1.3.5 Soit (N t ) t≥0
un processus de Poisson unidimensionel d’intensité λ > 0,
défini par la Définition 1.3.1. Montrez que les variables aléatoires suivantes : a 1 , qui
réprésente le temps jusqu’à la première arrivée, et a 2 , qui réprésente le temps entre les
deux premières arrivées, sont indépendantes et exponentielles de paramètre λ. Outrement
dit, pour tout t 1 > 0, t 2 > 0,
P{a 1 > t 1 , a 2 > t 2 } = e −λt 1
e −λt 2
Exercice 1.3.6 La distribution exponentielle et l’independance des intervales a i entre les
arrivées implique la propriété de Markov. Plus specifiquement, montrez par exemple que :
Première méthode :
P[N t+s ≥ k + 1|N t = k, N t−s1 = k, ∀s, s 1 > 0]
P[N t+s ≥ k + 1|N t = k, N t−s1 = k] = P[a k+1 ≤ t + s − A k |A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ]
= P[t − A k < a k+1 ≤ t + s − A k , A k ≤ t − s 1 ]
P[A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ]
∫ t−s1
x=0
=
f A k
(x)P[t + s − x ≥ a k+1 > t − x]dx
∫ t−s1
f x=0 A k
(x)P[a k+1 > t − x]dx
=
∫ t−s1
x=0 f A k
(x)(e −λ(t−x) − e −λ(t+s−x) dx
∫ t−s1
x=0 f A k
(x)e −λ(t−x) dx
=
∫ t−s1
x=0 f A k
(x)e −λ(t−x) (1 − e −λs )dx
∫ t−s1
x=0 f A k
(x)e −λ(t−x) dx
= 1 − e −λs
Rq : Pour d’autres distributions, cette miraculeuse simplification n’est pas vraie 2 .
Par consequent, le processus de Poisson est le seul processus de comptage Markovien.
Deuxiéme méthode (*). Pour démontrer des proprietées comme ci dessus, on utilise souvent
la propriété ”d’oubli de la durée de la dernière attente” de la loi exponentielle au temps
t (voir Rappel ??).
Ici on a :
P[a k+1 ≤ t + s − A k |A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ] = P[a 1 ≤ s|A 0 = 0] = 1 − e −λs
1.3.5 Le processsus de Poisson comme limite des processus de
Bernoulli
On peut aborder l’étude du processus de Poisson unidimensionel en discretisant le temps :
on partagera chaque unité de temps en n unités ”infinitesimales” de longueur h = 1/n, et
en ignorant la possibilité des arrivés doubles. Ça remplace le processus d’arrivées en temps
2 La réponse depandra de t et de s 1 (on l’obtient en utilisant la formule ¯F ai (x) = e − R x
0 h(y) dy où h(y) =
f ai (x)/ ¯F ai (x) est le ”taux de termination= hazard rate” de a i ).