Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
l’absorption dans les classes récurrentes se fait seulement en partant de 1 et de 4, tandis que
6 a les mêmes probabilités d’abs. que 1. Posant ã = a ,˜b = b on trouve finalement :
a+b a+b
⎛
⎞
0 0 0 3 2 2
5 5˜b 5ã
0 0 0 4 1 1
5 5˜b 5ã
P =
0 0 0 3 2 2
5
5˜b 5ã
⎜ 0 0 0 1 0 0
⎟
⎝
1 1
0 0 0 0 ⎠
2 2
1 1
0 0 0 0
2 2
Exercice 1.6.7 Démontrer la lemme, à partir des deux équations PP = P,PP = P. Que
devient la décomposition (1.17), i.e. les vecteurs propres à droite et gauche de la valeur 1
dans le cas général?
Solution : Cherchons à trouver un vecteur propre à droite v (j) et un vecteur propre à
gauche π (j) pour chaque élément absorbant j.
On trouve π (j) = (0, 0, ..., π j , ..., 0), la distribution stationnaire de la classe j. Décomposant
v (j) = (v t , 0, 0, ..., 1, .., 1, 0, ..., 0) on trouve v t = p j , où p j sont les probabilités d’absorbtion
dans la classe j.
En travaillant en forme matricielle, on trouve les matrices de rang 1 X j = p j × π j .
Conclusion : On voit que la connaissance de la structure du graphe de communication
simplifie considerablement le problème du calcul de la limite P.
1.6.7 Exercices
1.
⎛
P =
⎜
⎝
0 1 0 0 0 0
1
4
0 0 0 3 4
0
0 1 0 0 0 0
3
4
0 1 4
0 0 0
0 0 0 1 3
0 2 3
0 0 1 2
0 1 2
0
Calculer la limite P et la décomposition spectrale, en utilisant un logiciel si nécessaire.
2. L’espace des etats d’une chaine est S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 et la matrice de transition est
⎛
P =
⎜
⎝
0 1 4
1
2
1
0 0
4
0 1 0 0 0 0
0 0 1 3
0 2 3
0
0 0 0 0 0 1
0 0 1 4
0 3 4
0
1
4
0 0 0 3 4
0
(a) Dessinez le graphe de communication et identifiez les classes de la chaîne. Classifier
les classes en récurrents et transitoires. Y’ a-t-il des classes periodiques?
(b) Trouvez la distribution stationnaire des classes récurrentes.
(c) Trouvez la limite quand n → inf de la matrice de transition apres n étapes P n
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠