Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Poiexp
1.3 Le processus de Poisson
1.3.1 Rappels sur la distribution de Poisson et exponentielle
1. On considère deux variables aléatoires réelles X et Y indépendantes de loi de Poisson
de paramètres λ > 0 et µ > 0 respectivement.
(a) Quelle est la loi de Z = X + Y ? Indication : On peut utiliser la fonction
génératrice des probabilitées p X (z) = Ez X , ou la fonction génératrice des moments
m X (s) = Ee sX = p X (e s ).
(b) Trouver la distribution d’une somme de n variables Poisson indépendantes de
paramètre λ i , i = 1, ..., n.
(c) Pout tout entier n ≥ 0, déterminer la loi conditionelle de X sachant que Z =
X + Y = n.
(d) Déterminer E (X | X + Y ) .
(e) Quelle est la distribution de
S =
où B i sont des va aléatoires Bernoulli de paramètre p?
2. La loi exponentielle et la propriété de ”manque de mémoire”
Soit X une variable aléatoire réelle positive. Montrez que X suit une loi exponentielle
si, et seulement si : ∀t, h ≥ 0 , P ([X − t ≥ h] | [X ≥ t]) = P [X ≥ h] . qu’on appelle la
propriété de manque de mémoire.
Démonstration: Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 alors pour tous
t, h ≥ 0 on a :
P ([X ≥ t + h] ∩ [X ≥ t])
P ([X ≥ t + h] | [X ≥ t]) =
P [X ≥ t]
P ([X ≥ t + h] | [X ≥ t]) = 1 − F X (t + h)
1 − F X (t)
= 1 − ( 1 − e −λ(t+h))
1 − (1 − e −λt )
X∑
i=1
B i
=
P [X ≥ t + h]
P [X ≥ t]
(∗)
= e −λh = 1 − F X (h) = P [X ≥ h]
Réciproquement , on suppose que ∀t, h ≥ 0 , P ([X ≥ t + h] | [X ≥ t]) = P [X ≥ h]
c’est-à-dire encore d’après (∗) :
∀t, h ≥ 0 , P [X ≥ t + h] = P [X ≥ t] P [X ≥ h]
d’où la fonction ¯F = ¯F X = 1 − F X vérifie l’équation fonctionnelle
(∗∗) ¯F (t + h) = ¯F (t) ¯F (h) pour tous t, h ≥ 0
En prenant logarithmes, on trouve que la fonction f(x) = log( ¯F(x) vérifie l’équation
fonctionnelle
(∗∗) f (t + h) = f (t) + f (h) pour tous t, h ≥ 0
On utilise maintenant le résultat :