Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Similarly, the variance
Var S 1 = E(S 1 ) 2 − (ES 1 ) 2 =
∞X
−λ (λ)j
jX
= e E( X i ) 2 − (λEX 1 ) 2
j!
j=0
i=1
∞X
−λ (λ)j
= e (jEX1 2 j!
+ j(j − 1)(EX 1) 2 ) − (λE = X 1 ) 2
j=0
= λEX 2 1 + λ(EX 1 ) 2 − λ(EX 1 ) 2 = λEX 2 1
b) Let M X1 (u) = Ee uX 1 = R ∞
0 eux f(x)dx = denote the moment generating fonction of one jump. Conditioning on the =
number of jumps we find
Ee uSt = Ee u(PN T
t=1 Xt) = P ∞
j=0 = e−λt (λt) j
(M j! X1 (u)) j = e λt(M X (u)−1) 1 = e λt(R ∞
0 (e ux −1)f(x)dx) . Taking logarithms
yields :
c(u) = λ(M X1 (u) − 1)
Exercice 1.3.8 Déterminer la fonction de covariance
Cov [X t , X t+s ]
d’un processus de Poisson composé X t , t ≥ 0 (qu’on utilise pour modéliser le montant total
des sinistres).
1.3.7 Conclusions
En conclusion, le processus de Poisson homogène unidimensionel de taux λ est un processus
de comptage, où ”l’avancé du compteur” se fait après des temps exponentielles de
paramètre λ, et qui a plusieurs propriétés remaquables, comme :
– distribution exponentielle (donc ”sans mémoire”) de paramètre λ pour les intervales
a i entre les arrivées
– la propriété de Markov
– (X t ) t≥0
est homogène, c’est-à-dire les increments X [s,s+t] = X s+t − X s ont une distribution
indépendante du moment initial s :
∀s, t > 0, ∀k ∈ N , P [X s+t − X s = k] = P [X t = k] not.
= p k (t) .
– (X t ) t≥0
est un processus à accroissements indépendants (P.A.I. en abrégé), c’est-àdire
les v.a. X Ii , i = 1, ..., n sont indépendantes, si les intervalles I i , i = 1, ..., n sont
disjoints. En particulier,
∀s, t ≥ 0 avec s ≤ t , X t − X s est indépendante de X u pour tout u ≤ s.
– (X t ) t≥0
est un processus de Markov, et les probabilitées de transition satisfont P{X t =
j|X 0 = i} = P{X t = j − i|X 0 = i} = p j−i (t).
Exemple d’application du processus de Poisson : La pêche! On note X t le nombre de poissons
pris par un pêcheur à la ligne dans l’intervalle de temps [0, t]. On fait les hypothèses
suivantes :
(h1) il y a un très grand nombre de poissons, de façon à ce qu’une prise n’influe pas sur
la suite de la pêche
(h2) l’appétit des poissons ne varie pas avec le temps.