Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Exercise 1.1 Montrez que si Y t est un processus de Levy, alors :
a) m(t) := EY t satisfait m(t + s) = m(t) + m(s)
b) v(t) := VarY t satisfait v(t + s) = v(t) + v(s)
c) Etablissez la linearité de ces fonctions : m(t) = tEY 1 , v(t) = tVarY 1 , pour des temps
t rationnels.
En généralisant :
Théorème 2.1.1 Pour chaque t, s ∈ R + :
a) l’esperance d’une marche aleatoire/processus de Levy X t avec X 0 = 0 m(t) = EX t
satisfait :
m(t + s) = m(t) + m(s), m(t) = tm(1)
b) la variance v(t) = E(X t − e t ) 2 satisfait :
v(t + s) = v(t) + v(s), v(t) = tv(1)
c) La fonction génératrice des moments d’un processus de Levy X t avec X 0 = 0 M(t) =
M θ (t) := Ee θXt satisfait :
M(t + s) = M(t) M(s)
pour chaque t, s où elle est bien definie.
d) Déduisez qu’elle doit être de la forme : M(t) = e tκ(θ) pour une certaine fonction κ(θ)
(appellée exposant de Levy, où fonction génératrice des cumulants).
Note : La fonction génératrice des cumulants characterise uniquement un processus de
Levy.
Solution 1.1
Solution 1.2 a) (b)) We decompose Y (t + s) = Y (s) + (Y (t + s) − Y (s)) and taking
expectations (variances) we find that both fonctions satisfy the property f(t+s) = f(t)+f(s)
which implies linéarité.
c) The independence and stationarity of increments of a processus de Levy imply that
M(t) = Ee θYt satisfies the identity M(t + s) = M(t) M(s). Taking logarithms we find that
f(t) = LogM(t) satisfies the identity f(t + s) = f(t) + f(s).
Finalement, pour conclure la linearité, on s’appuie sur :
Lemma 2.1.1 Si une fonction continue (en fait, mesurable suffit) f(t) : R + − > R satisfait
pour chaque s, t, l’identitè :
f(t + s) = f(t) + f(s)
alors f(t) est une fonction linéaire, i.e.
f(t) = f(1)t.
2.2 Exemples de processus de Levy
Nous avons deja vu le processus de Poisson, et le processus de Poisson composé S t =
∑ Nt
i=1 Z i, où Z i sont des variables aléatoires i.i.d.(independentes et idéntiquement distribuées)
et N t est un processus de Poisson, independant de Z i . Un autre exemple est le processus de
réserves classique (d’une compagnie d’assurance).