Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
2. Une particule décrit une marche aléatoire sur E = {1, 2, ..., 2n − 1} : si la particule est
en i < n, alors elle se déplace en j = i + 1, et si la particule est en i > n, alors elle se
déplace en j = i − 1; si la particule est en i = n, alors elle se déplace en une position
j choisie avec probabilités egales parmi les elements de E différentes de n. La position
X k au temps k constitue une chaîne de Markov.
(a) Donner la matrice de transition.
(b) Déterminer la loi invariante de la chaîne.
(c) Calculer la position moyenne de la particule en regime stationnaire.
(d) Calculer l’espérance du temps de retour en n d’une particule qui part de n.
(e) Rajouter maintenant deux états absorbants 0 et 2n, et supposer que si la particule
est en i = n, alors elle se déplace en 0 avec probabilité a, en 2n avec probabilité
b, et avec probabilité 1 − a − b >≥ 0 à une position j choisie avec probabilités
egales parmi les autres elements de E, différents de n.
i. Déterminer les lois stationnaires de la chaîne.
ii. Calculer l’espérance du temps T = min[T(0), T(2n)].
iii. Calculer les probabilités de ruine ψ(k) = P k [T(0) < T(2n)].
⎛
p 1 p 2 |
⎞
1 − p 1 − p 2
3. Soit une chaîne absorbante definie par la matrice de transition ⎝ 0 p | 1 − p ⎠
0 0 | 1
et la distribution initiale (α 1 , α 2 ).
Trouvez l’esperance et la distribution du nombre des pas N jusq’à l’absorbtion.
4. Des femmes et des hommes arrivent dans un magasin, après des temps fixes, unitaires.
Chaque instant, une femme arrive avec probabilité λ F , ou un homme arrive avec probabilité
λ H , ou il n’y a pas d’arrivée, avec probabilité q = 1 − λ F − λ H .
a. Trouver la probabilité qu’une femme entre avant un homme. Indication : Conditionnez
sur le premier instant, ou sur le nombre d’instants sans arrivées.
b. Trouver la probabilité que deux femme entrent avant un homme.
c. Quelle est la probabilité qu’au moins deux hommes soient entrés consecutivement
(pas forcement aux moments consecutifs), avant que trois femmes ne soient entrées
consecutivement (pas forcement aux moments consecutifs). Indication : Considèrez un
processus de Markov sur l’espace des états : (H1, H2, H3, ...) ∪ (F1, F2, F3, ...), qui
enregistre la longueur k du nombre des clients k ∈ {1, 2, ...} du même sexe entrés
consecutivement jusq’au temps t, et leur sexe (H/F); formulez des equations d’arrêt
pour les états d’arrêt indiqués.
5. a) Une mouche effectue une marche cyclique sur les sommets {1, 2, 3} d’un triangle,
avec matrice de transition ”circulante”
⎛ ⎞
a b c
P = ⎝c a b⎠
b c a
où a, b, c ≥ 0 et a + b + c = 1. Il est facile de verifier que la matrice de transition
P n est aussi ”circulante” (i.e. chaque ligne est déduite de la ligne précédente par une