Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Corollaire 1.5.5 Soit X t un processus de Markov des sauts avec un état absorbant, à matrice
génératrice (de taux de transitions) donnée par :
Soit
G =
( B b
0 0
)
.
R s = (sI − G) −1
sa resolvente. Alors, les transformées de Laplace l i (s)∀i ∈ T du temps de passage à état
absorbant sont données par :
l i (s) = R s(i, ∂)
R s (∂, ∂) ∀i ∈ T .
De plus, cette formule est valable pour chaque processus de Markov des sauts, i.e.
l i,j (s) = R s(i, j)
∀i ∈ E.
R s (j, j)
Pour les temps de retour au même état, on trouve :
Exercice 1.5.10
l i,i (s) = 1 −
1
∀i ∈ E.
R s (i, i)
Rq : Ces équations continuent à être vraies pour les processus semi-Markoviennes.
Exercice 1.5.11 Obtenez les transformés de Laplace
L i,j = E i [e −τ 1 {Xτ=j}],
i ∈ T , j ∈ ∂
pour les temps d’absorbtion jointes avec la position d’absorbtion, pour un processus de Markov
avec plusieurs états absorbants.
1.5.5 Les distributions de type phase discrètes
Exercice 1.5.12 a) Pour une chaîne a deux états 0, 1 avec P 0,1 = λ, P 1,0 = µ, calculez
l’esperance t 0 du temps de retour T 0 (retour en 0, conditionné par un départ en 0).
b) Verifiez l’identité t 0 = π0 −1 /P 0 [X 1 ≠ 0, valable pour toutes les chaînes ergodiques.
c) Quelle est la distribution du T 0 ?
Les distributions de temps d’absorbtion, appelées aussi ”distributions de phase”, sont
disponibles explicitement pour chaque chaîne absorbante. Soit
p(k) = (p x,y (k), x ∈ T ) := (P x,y {N = k}, x ∈ T , y ∈ ∂})
P(k) =:= (P x,y {N > k}, x ∈ T , y ∈ T })
les matrices de dimension |T × |∂| ayant comme elements les probabilités jointes de k pas
avant l’absorbtion, de départ en x et d’absorbtion en y.