Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

ii. E ˜T 0 = 1 + 1 4 (t 2 + t 3 + t 4 + t 5 ) = 1 + 12
3 = 5 (= 1 π 0
)
iii. π i sont proportionels aux degrés v i des sommets, i.e. π i =
v i Pj v j , donnant
(π 1 = 2/(2 + 4 ∗ 3 + 3 ∗ 2) = 1 , π 10 2 = 4/20 = 1, π 5 0 = 3 ) (en vérifiant ainsi le
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théorème E ˜T 0 = 1 π 0
).
iv. Le système d’absorption, tenant compte de x 2 = x 3 , x 4 = x 5 est :
x 2 = 1 4 x 2 + 1 4 x 4 + 1 4
Ça donne : x 2 = 2 5 , x 4 = 1 5 .
v. p k = ( 2 5 )k 3 5 .
x 4 = 1 3 x 2 + 1 3 x 4
(b) i. Après la détérioration, la matrice de transition est :
⎛
⎞
1 0 0 0 0 0
0 0 1 1
0 0
2 2 1 1
P =
0 1 0 1 4 4 4 4
1 1 1
⎜ 0 1 0
4 4 4 4 ⎟
⎝0 0 0 0 2 1⎠
3 3
0 0 0 0 1 2
3 3
Sans les pas sur place, elle serait
⎛
⎞
1 0 0 0 0 0
0 0 1 1
0 0
2 2 1 1
P =
0 1 0 1 4 4 4 4
1 1 1
⎜ 0 1 0
4 4 4 4 ⎟
⎝0 0 0 0 1 0⎠
0 0 0 0 0 1
ii. classes recurrentes : {0}, {4, 5}; classe transiente : {1, 2, 3}.
iii. les distributions stationnaires des classes recurrentes : 1 et ( 1 2 , 1 2 ).
iv. Le système d’absorption pour les probabilités d’absorption dans la classe 0
est :
x 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x 3
x 2 = 1 4 x 3 + 1 4 x 1 + 1 4
x 3 = 1 4 x 2 + 1 4 x 1 + 1 4
et x 1 = x 2 = x 3 = 1 2 .
La matrice des distributions asymptotique :