Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

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FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT En itérant ces récurrences, et en posant σ j = λ j + µ j , j = 0, ..., γ j = λ j−1 µ j , j = 1, ..., γ 0 = 1, on obtient une fraction continue pour la transformée de la probabilité de retour en 0 : p ∗ 0 (s) = 1 = s + σ 0 − s + λ 0 − s + σ 1 − γ 1 γ 2 p s + σ 2 − µ ∗ 3 3 p ∗ 2 1 λ −1 0 (1 + (s + λ 1 )/µ 1 ) − = ⊕ ∞ j=0 1 γ j s + σ j − 1 λ 0 µ 1 λ −1 1 (1 + (s + λ 2 )/µ 2 − ... (3.6) fcb où ⊕ denote fraction continue. En tronqant la fraction continue au niveau n, et en écrivant ceci comme une fraction, on arrive au approximant de Padé. Ou, au lieu de tronquer la fraction continue au niveau n, assurons le fait que 0 soit un pole de p ∗ 0(s) (ce qui est necessaire, car lim s→0 sp ∗ 0(s) = π 0 ), en choisissant p∗ n+1 comme p ∗ n l’únique constante γ n qui rend s une racine du denominateur. Un calcul simple montre que cette constante doit être ρ n+1 = λn µ n+1 , tel que le dernier denominateur inclu soit s + µ n . Les fractions ainsi obtenues seront de la forme A n s + a n−1(s) b n (s) où A n = (1+ρ 1 +ρ 1 ρ 2 +... ∏ n i=1 ρ i) −1 sont des approximations de la probabilité stationnaire π 0 et les transformées inverses de a n−1(s) b n(s) approximent la partie transitoire. Exemple 3.8.1 Pour le cas de la file M/M/1 avec coefficients constants λ i = λ, ∀i ≥ 0, µ i = µ, ∀i ≥ 1, on a µp ∗ 1 − p ∗ 0 (s + λ) + 1 = 0, la normalisation ∑ p ∗ n (s) = 1/s et la récurrence pour j ≥ 1 est : n µ p ∗ j+1 − (s + λ + µ) p∗ j + λ p∗ j−1 = 0. Comme une des racines de µα 2 − (µ + λ + s)α + λ = 0 est toujours plus grande que 1, on conclu que p ∗ n(s) = p ∗ 0(s)α 1 (s)α(s) n−1 (3.7) res où α 1 (s) = p∗ 1 (s) p ∗(s), et α(s) est l’unique racine de µα2 − (µ + λ + s)α + λ = 0 qui est plus 0 petite que 1 pour chaque s ≥ 0 (et qui coincide avec la transformée de Laplace V ∗ (s) de la ”période occupée” multipliée par µλ −1 ). Finalement, tenant compte de la normalisation et de la première équation, on trouve : α 1 = λ(1−α) = α, et s+µ(1−α) p ∗ n(s) = (1 − α)α(s)n , p ∗ s 0(s) = 1 − α(s) = s α λ − µα = V ∗ µ−1 1 − V ∗
Rémarquons aussi que la fraction continue est periodique : p ∗ 0 (s) = 1 = λ s + λ − µ λ s + λ + µ − µ s + λ + µ − µ p∗ 3 p ∗ 2 1 s + λ − µα(s) où α satisfait comme avant α(s) = λ s + λ + µ − µα(s) Cette approche pourrait rendre possible l’analyse stationnaire et transitoire des marches unidimensionels nonreversibles (voir Kovchegov (2008) pour le cas reversible, correspondant aux operateurs G symmetrisables), generalisant l’approche de Karlin et McGregor! Exercice 3.8.1 Calculer les transformées de Laplace p ∗ j (s), s ∈ N, des probabilités transitoires pour une marche sur les nombres naturels, avec la distribution de chaque pas donnée par (p 1 , p −1 , p −2 ). Comparer avec (?). BF Note : Dans le cas multidimensionel, les distributions stationnaires des reseaux de Jackson sont calculables explicitement (même que les marches associées ne sont pas reversibles), mais les probabilités transitoires sont connues dans trés peu de cas! Illustrons maintenant le calcul des transformées de Laplace, à partir des èquations de Chapman-Kolmogorov, pour les probabilités q j (t) = P j [τ 0 ≤ t]. Les équations de Kolmogorov P ′ = PG pour la première ligne sont q ′ 1(t) = µ 1 − (λ 1 + µ 1 ) q 1 (t) + λ 1 q 2 (t), q 1 (0) = 0 q ′ j (t) = µ j q j−1 (t) − (λ j + µ j ) q j (t) + λ j q j+1 (t), q j (0) = 0, j = 2, 3, ... Les transformées de Laplace p ∗ j (s) satisfont une récurrence de deuxième ordre : −µ j q ∗ j−1 + (s + λ j + µ j ) q ∗ j − λ j q ∗ j+1 = 0, j = 2, 3... (s + λ 1 + µ 1 ) q ∗ 1 − λ 1q ∗ 2 − µ 1/s = 0
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1.5.4 Les distributions et transfor
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Définition 1.1.2 Soit X . = X t ,
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3. La fonction génératrice des mo
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B U A O Fig. 1.1 - Marche aléatoir
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Trouvez T n . b) Calculez T(z) =
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En demandant que c n = c p (n) + A(
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De lors, ψ ∗ (z) = 1 1 − z −
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et alors c = −2 et c 2 = 2c 1 + 1
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toujours à des sommes closes. Une
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Solution : 1. C’est une équation
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Théorème 1.3.1 Une fonction monot
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Il est facile de voir que le nombre
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Le processus (X t ) t≥0 peut alor
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1.4 Les semigroupes de Markov homog
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Or, on sait que p 11 (0) = 1 donc C
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(a) Donnez la formule exacte, ainsi
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et x 1 = 2 1 + 1 1 = 7 , x 3 5 3 8
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Par exemple, les systémes associé
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