Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
En particulier
Théorème 1.5.3 Les probabilités d’absorbtion ˆp (j) dans un état absorbant fixe j satisfont
le système d’absorbtion
ˆp (j) = Qˆp (j) + p (j)
(T ,∂)
où p (j)
(T ,∂)
denote le vecteur des probabilités de transition dans l’état absorbant j.
La matrice P (abs) des probabilités d’absorbtion satisfait :
P (abs) = QP (abs) (T ,∂)
+ P
et donc
P (abs) = (I − Q) −1 (T ,∂)
P
Dir2 Corollaire 1.5.2 Soit G := P −I (ici, on pourrait encore ”effacer” les lignes de G correspondant
à ∂, mais pas les colonnes). Avec un prix final arbitraire f, les prix finaux espérés
p à partir de tous les états satisfont le système d’absorbtion
Gp = 0 (1.15)
p i = f i , ∀i ∈ ∂ (1.16)
Corollaire 1.5.3 Avec une distribution initiale β, avec un prix final arbitraire f, on a
l’espace d’états :
ˆp = β(I − Q) −1 P (T ,∂) f
Pour autres exemples des problèmes d’absorbtion pour les chaînes de Markov, voir Ruegg,
2.6.4-2.6.5.
1.5.4 Les distributions et transformées de Laplace des temps d’absorbtion/atteinte/”matrix
geometric”/de type phase
Exercice 1.5.3 a) Pour un processus absorbant en temps continu a deux états 0, 1 avec
G 0,1 = 0, G 1,0 = λ, calculez l’esperance du temps d’absorbtion τ.
b) Quelle est la transformées de Laplace de τ ?
c) Quelle est la distribution de τ ?
Exercice 1.5.4 a) Calculez l’esperance du temps d’absorbtion τ pour un processus absorbant
en temps continu a trois états 0, 1 avec
G =
( )
0 0 0
λ 1 −λ 1 0
λ 2 0 −λ 2
et distribution initiale (0, α 1 , α 2 ).
b) Quelle est la distribution de τ ?
c) Quelle est la transformées de Laplace de τ ?