Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

et finalement
p H y 1 + p F x 1 = pm H (1 + p FS F,n−2 )
1 − p H p F S H,m−2 S F,n−2
=
Pour m = 2, n = 3, on trouve :
et
y 1 =
p H
1 − p H p F (1 + p F ) , x 1 =
p m H S F,n−1)
1 − p H p F S H,m−2 S F,n−2
p 2 H (1 + p F)
1 − p H p F (1 + p F )
p H y 1 + p F x 1 = p2 H (1 + p F + p 2 F )
1 − p H p F (1 + p F )
5. a) L’équation de Chapman-Kolmogorov donne imédiatement une formule explicite :
P n (1, 1). On note aussi que les marches cycliques ont la matrice de transition P circulante,
et donc nous avons une decomposition spectrale bien-connue explicite, qui utilise
les racines (complexes) de l’unité. Mais, on peut faire mieux. La matrice P n est aussi
circulante, et contient donc seulement deux inconnues : b n = P n (1, 2), c n = P n (1, 3).
Soit b = P(1, 2), c = P(1, 3), a = P(1, 1) = 1 − b − c les probabilités après un pas. On
trouve ( la récurrence ) ( : ) ( )
bn+1 − 1/3 a − b c − b bn − 1/3
=
c n+1 − 1/3 b − c a − c c n − 1/3
Le cas b = c = 1/2 et a = b = c = 1/3 donnent des récurences ”decouplées”. Le cas
b = 2/3, c = 1/3 est plus difficile. En utilisant l’ordinateur, on rémarque que :
où v n = v n+12 est périodique.
(b n − 1/3, c n − 1/3) = (1/3, 1/3) + 3 −1−n/2 v n
6. a) X, le nombre total des faces a une distribution binomiale B(n, p). Il y a deux
possibiltés : - que Marc tire une pile et perd, dans quel cas son gain sera 0, et qu’il
tire une face, dans quel cas le gain sera Y =
n où X ′ a une distribution binomiale
1+X ′
B(n, p). Donc, l’espérance du gain est
Y = pE
n = p
1 + X ′
=
∑n−1
k=0
∑n−1
k=0
n
1 + k
n
∑n−1
1 + k Ck n−1 pk q n−1−k = p
k=0
n
1 + k
n!
(k + 1)!(n − k − 1)! pk+1 q n−1−k =
(n − 1)!
k!(n − k − 1)! pk q n−1−k
n∑
Cn j pj q n−j = 1 − q n
b) Le gain esperé d’un ”joueur aléatoire” Y = Y (X) est 0 si X = 0, a.p. q n . Au
cas contraire, le ”joueur aléatoire” est gagnant avec probabilité X et perdant avec
n
probabilité 1 − X. Le gain esperé est toujours (1 − n qn )E[ X n
] = (1 − n X qn ).
Finalement, cet exercice suggère la question générale du calcul des ”sommes binomiales”,
comme par exemple
S n =
∑n−1
i=0
1 ∑n−1
(i + 1) 2Ci n−1 xi =
i=0
j=1
1
(i + 1) 2Ci n−1 xi