Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
La distribution limite dans le cas général
Nous considerons maintenant le cas général à plusieurs classes récurrentes. Il nous reste
seulement de calculer les limites X(i, j) := lim n→∞ P n (i, j) pour i transitoire et j récurrent.
Nous avons vu dans nos exemples qu’il y a deux vecteurs de probabilités à déterminer :
a) p i (ĵ), de finir dans la classe de récurrence de j à partir de l’élément transitoire i, et
b) π(j) la probabilité stationnaire que la chaîne soit observée dans l’état j (ou la proportion
de temps passé dans l’état j.
Pour cela, on utilisera :
mult Lemma 1.6.2
lim n→∞ P n (i, j) = p i (ĵ) π(j) (1.19)
où on a dénoté par p i (ĵ) la probabilité d’absorption dans la classe de récurrence de j (et par
π(j) la probabilité stationnaire de j dans sa classe).
En forme matricielle, Xĵ = pĵ × πĵ
Cette loi multiplicative est assez claire intuitivement : elle reflète l’indépendance entre
le comportement avant et après absorption, et se verifie facilement 4 .
Donc, le calcul des limites lim n→∞ P n (i, j) pour i transitoire et j récurrent demande le
calcul des probabilités d’absorbtion p i (ĵ) et l’application de la lemme 1.6.2.
p1 Exemple 1.6.4 Calculer la matrice P = lim n→∞ P n pour l’exemple :
⎛
⎞
0 a b 1 − a − b 0 0
0 1 0 0 0 0
P =
0 0 1 1
0 0
2 2 ⎜ 0 0 0 0 0 1 ⎟
⎝
0 0 1 1
0 0
⎠
2 2
1 0 0 0 0 0
Solution : Après le rangement facilitant des éléments dans l’ordre 1, 4, 6, 2, 3, 5 la matrice
de transition devient :
⎛
⎞
0 1 − a − b 0 a b 0
0 0 1 0 0 0
P =
1 0 0 0 0 0
⎜ 0 0 0 1 0 0
⎟
⎝ 0 0 0 0 1 1 ⎠
2 2
0 0 0 0 1 1
2 2
4 En conditionnant sur la position k d’arrivée dans la classe de récurrence ĵ de j après le temps T de
transition de la partie transitoire, on trouve que :
lim n→∞ P n (i, j) = ∑ k∈ĵ
P i {X T = k} lim n→∞ P n (k, j) (par propr. Markov) (1.20)
= ∑ k∈ĵ
P i {X T = k} π(j)(par ergodicité de la classe récurrente) (1.21)
= π(j) ∑ k∈ĵ
P i {X T = k} = p i (ĵ) π(j) (1.22)