Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Par exemple, les systémes associés aux esperances des temps d’absorbtion et aux probabilités
d’absorbtion dans un sous ensemble A ⊂ ∂ sont respectivement :
˜Gt + 1 = 0 (1.11)
t i = 0,
∀i ∈ ∂
Gp = 0 (1.12)
p i = I A (i), ∀i ∈ ∂ (1.13)
Nous verrons que les mêmes équations sont valables pour les chaînes, après avoir associé
à chaque chaîne de matrice de transition P une matrice génératrice
G = P − I.
Définition 1.5.3 Une matrice G satisfaisant
1. g ij ≥ 0 si i ≠ j, g ii ≤ 0 et
2. g i,i + ∑ j≠i g i,j = 0
sera appellée matrice génératrice ou générateur de la chaîne de Markov.
Une matrice G satisfaisant 1. et g i,i + ∑ j≠i g i,j ≤ 0 sera appellée sous-génératrice.
Exercice 1.5.1 Pour une matrice (sous)stochastique arbitraire, la matrice G = P − I est
une matrice (sous) génératrice.
Remarque 1.5.2 Il est facile de verifier que la matrice G = P − I a les mêmes vecteurs
propres comme P, et que ses valeurs propres sont translatées par −1.
Les systèmes de Dirichlet –voir ci dessus– concernant les chaînes de Markov en temps
discret peuvent être formulées egalement en termes de P ou de G, mais l’avantage de la
dernière formulation et qu’elle generalise pour le temps continu.
1.5.2 Les espérances des temps d’atteinte
t:EN Théorème 1.5.1 a) Les espérances des temps d’absorbtion à partir des états transitoires n
satisfont le système d’absorbtion
b) Elles sont données explicitement par :
n = Qn + 1
n = (I − Q) −1 1
c) Avec une distribution initiale β, l’espérance ¯n = E β N du temps d’absorbtion est :
¯n = EN = β(I − Q) −1 1
Demonstration : a) est équivalent au système
n i = ∑ j∈E
P i,j (n j + 1) = ∑ j∈T
Q i,j (n j + 1) + ∑ j /∈T
(T ,∂)
P i,j ∗ 1,
obtenu par un conditionnement sur le premier pas.
b) est simplement la solution du système donné en a).