Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
1. Trouver un basis pour l’espace vectoriel des solutions de l’équation auxiliaire homogène
(1.6), et donc la solution générale u n pour cette équation.
2. Déterminer une solution particulière de (1.7), par exemple en utilisant une expression
”essai” ṽ n qui a la même forme générale que le membre droit d n ,, mais des coefficients
non-déterminés. Par exemple, si d n est un polynôme d’ordre k, on essaie un polynôme
général d’ordre k.
3. Néanmoins, si votre expression d’essai a des termes qui sont inclus dans l’espace vectoriel
des solutions de l’équation homogène obtenue au pas 1 (et donc qui vont être
annihilés par l’operateur des différences), il faut multiplier l’expression d’essai par
n, n 2 , ... jusqu’à ce qu’il n’y a plus des termes inclus dans cet’espace .
4. Aprés la decision de la forme d’essai, on trouvent les valeurs des coefficients de ṽ n à
partir de (1.7), par la méthode des coefficients non-déterminés.
5. La solution générale de (1.7) est de la forme v n = ṽ n + u n . On trouve finalement les
coeficients encore non déterminés en u n , en utilisant les conditions sur la frontière pour
v n .
Exemple 1.2.2 On considére l’ensemble E des suites (u n ) n∈N qui vérifient la relation suivante
:
(R) ∀n∈ N, u n+2 + 3 2 u n+1 − u n = 0.
1. Rechercher les suites géométriques qui vérifient cette relation (R).
2. On note r 1 et r 2 leurs raisons et on admet que E est un espace vectoriel de dimension
2, i.e. toute suite de E s’écrit sous la forme
u n = αr1 n + βrn 2 , ∀n∈ N.
Soit (a n ) la suite de E qui vérifie a 0 = 1 et a 1 = 0. Calculer a n .
Exemple 1.2.3 On considére l’ensemble E ′ des suites (v n ) qui vérifient la relation :
(R ′ ) ∀n∈ N, v n+2 + 3 2 v n+1 − v n = 4n + 1.
1. On pose ∀n∈ N, u n = an + b. Déterminer a et b pour que (u n ) soit une solution
particuliére de (R ′ ).
2. Soit (v n ) une suite de E ′ .
(a) Pour toute suite (t n ) de E ′ on définit la suite (u n ) par ∀n∈ N, u n = v n − t n .
Vérifier que (u n ) ∈ E.
(b) En déduire que ∀n∈ N, v n = αr n 1 + βr n 2 + an + b.
(c) Déterminer v n pour v 0 = − 5 9 et v 1 = − 26 9 .
Exemple 1.2.4 Obtenez les formules analytiques des suites décrites par les relations de
récurrence ci-dessous, et vérifiez-les en utilisant les premiers termes de la suite t 2 , t 3 .
1. t i = 2t i−1 + i − 1, t 0 = 0
2. t i = 2t i−1 + 5 · 2 i , t 0 = 0
3. t i = 3t i−1 − 2t i−2 + 2, t 0 = 0, t 1 = 2
4. t i = 2t i−1 − t i−2 + 2, t 0 = 0, t 1 = 2