Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Solution :
1. C’est une équation nonhomogène, alors nous aurons :
t i = ˜t i + A2 i , ˜t i = c 1 i + c 2 avec c 1 i + c 2 = 2(c 1 i − c 1 + c 2 ) + i − 1
et alors c 1 = 2c 1 + 1 et c 1 = −1
c 2 = −2c 1 + 2c 2 − 1 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
t i
= −i − 1 + 2 i
2. C’est une équation nonhomogène, alors :
t i = ˜t i + A2 i , ˜t i = ci2 i avec ci2 i = 2(c(i − 1)2 i /2) + 52 i
et alors c = 5, t i = 5i2 i + A2 i et finalement,
t 0 = = 0 = A et A = 0
= 5i2 i
t i
3. C’est une équation de différences nonhomogène et l’équation quadratique attachée a
les racines 1, 2, alors nous aurons :
t i = ˜t i + A 1 2 i + A 2 , ˜t i = ci avec ci = 3(ci − c) − 2(ci − 2c) + 2
et alors c = −2 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
= −i − 1 + 2 i
t i
4. C’est une équation de différences nonhomogène dont les racines de l’équation quadratique
attachée sont confondues égales à 1 donc nous aurons :
t i = ˜t i + A 1 + A 2 i, ˜t i = c 1 i + c 2 avec c 1 i + c 2 = 2(c 1 i − c 1 + c 2 ) + i − 1
et alors c 1 = 2c 1 + 1 et c 1 = −1
c 2 = −2c 1 + 2c 2 − 1 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
= −i − 1 + 2 i
t i
1.2.9 Récurrences et équations differentielles linéaires à coefficients
polynomiaux (*)
Dans le cas des coefficients polynomiaux la resolution est possible seulement dans des cas
particuliers, et en utilisant toute une hierarchie des fonctions de base : hypergeometriques,
d’Alembertiennes et Liouvilliennes.