Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
5. Considerons le processus de Markov sur les états : {FiP }, {P }, {Fi}, {Fp}, où le dernier
état inclu le cas ∅. Soit N le nombre de pas jusqu’à la premiére fois quand une
pile arrive après un nombre impaire de faces, et x i , i = 1, 2, 3 son espérance, à partir
des états transitoires : x 1 = x {P } , x 2 = x {Fi} , x 3 = x {Fp} . Les trois inconnues satisfont :
x 1 = 1 + px 1 + q ∗ x 2 , x 2 = 1 + q ∗ x 3 , x 3 = 1 + px 1 + q ∗ x 2 =⇒
x 3 = x 1 , qx 1 = 1 + qx 2 = 1 + q(1 + qx 1 ) =⇒ x 1 =
1 + q
q(1 − q)
Note : Le conditionnement sur le premier pas ne marche pas. Examinons l’espace
d’états :
E = {P, FP, FFP, FFFP, FFFFP,..}
en essayant de trouver une decomposition en cas (ou un temps d’arrêt T) qui permet
une approche recursive.
Dans le premier, troisième, ...cas, on recommence. Dans le dexième, quatrième, ..., on
conclut N = 2, 4, .... Le temps d’arrêt permettant une solution est donc le temps T de
la premiére pile. En conditionnant sur T, on trouve :
n = E[N] =
=
∞∑
q 2k−1 p(2k) +
k=1
où on a utilisé ∑ ∞
k=1 2kq2k−1 = ( 1 ) ′ =
1−q 2
(1+q 2 )
. On retrouve finalement : n = 1+q
(1−q 2 ) 2 q(1−q)
6. Nous devons resoudre
où
∞∑
q 2k p((2k + 1) + n)
k=0
2pq
(1 − q 2 ) 2 + p(1 + q2 )
(1 − q 2 ) 2 + n 1
1 + q = p
(1 − q) 2 + n 1
1 + q
(Gc)(x) + h(x) = 0
c(0) = 0
c(x)
2q , ∑ ∞
(1−q 2 ) 2 k=0 (2k + 1)q2k = 1 −
(1−q) 2
accroit non-exponentiellement quand x → ∞
2q
(1−q 2 ) 2 =
Gf(x) = 1/2(f(x + 1) − f(x)) + 1/8(f(x − 1) − f(x)) + 3/8(f(x − 2) − f(x)), x ≥ 2
Gf(1) = µ 1 (f(2) − f(1)) + µ −1 (f(0) − f(1))
4.9 Examen d’entrainement 2
1. Un scribe doit copier n pages d’un manuscrit. Comme il est fatigué, il comet un certain
nombre d’erreurs partout dans le manuscrit, distribuées suivant une distribution de Poisson
Po(λ). Les erreurs peuvent se trouver sur n’importe quelle page, avec des probabilités égales.
(a) Quelle est la distribution du nombre N 1 des erreurs sur la première page ?
(b) Quelle est la probabilité que la première page ne contient pas des erreurs?
(c) Quelle est l’espérance du nombre de pages contenant des erreurs?