Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
1.2 Marches aléatoires et récurrences
Définition 1.2.1 Marches aléatoires
Soit Z = (Z n ) n∈N
une suite de variables aléatoires i.i.d (i.e. indépendantes et de même
loi), à valeurs dans un groupe G, et soit X 0 ∈ G indépendant de Z.
Le processus X n ∈ G, n = 0, 1, ... donné par la somme de ces variables
X n = X 0 + Z 1 + Z 2 + · · · + Z n , n ∈ N (1.1) rw
s’appelle marche aléatoire. Comme alternative, la marche aléatoire peut-être definie
récursivement par la récurrence
X n = X n−1 + Z n , n = 1, ... (1.2) defr
Motivation : Les marches aléatoires sont parmi les processus stochastiques les plus utiles
(par exemple en physique, mathématiques financières, files d’attente, statistique, etc...). Ils
peuvent servir comme des excellents exemples introductifs, qui motiveront un étude plus
approfondi des processus stochastiques. Finalement, ils sont aussi parmi les processus les
meilleurs compris, car ils ramènent souvent à des solutions analytiques, ce qui rendent les
résultats plus transparents.
Exemple : Les marches aléatoires sur Z
Définition 1.2.2 Marches aléatoires sur Z.
Soit Z = (Z n ) n∈N
une suite de variables aléatoires i.i.d (i.e. indépendantes et de même
loi), à valeurs en Z, ayant une distribution discrète p = (p j = P[Z n = j], j ∈ Z), et soit
X 0 ∈ Z indépendant de Z et ayant aussi une distribution discrète.
a) Le processus X n ∈ Z, n = 0, 1, ... donné par la somme de ces variables
X n = X 0 + Z 1 + Z 2 + · · · + Z n , n ∈ N (1.3) rw
s’appelle marche aléatoire. Comme alternative, la marche aléatoire peut-être definie
récursivement par la récurrence
X n = X n−1 + Z n , n = 1, ... (1.4) defr
b) Si en plus |Z n | = 1, i.e. p i ≠ 0 ssi i = ±1, et le processus (1.3) est appelé marche
aléatoire simple. On denotera p 1 par p et de lors la distribution de Z n est de la forme
pδ 1 + (1 − p)δ −1 , i.e. P [Z n = 1] = p et P [Z n = −1] = 1 − p avec 0 < p < 1.
Si p = q = .5 on parle d’une marche aléatoire symmetrique, et avec p ≠ q on parle
d’une marche aléatoire biaisée.
Extension : Si on remplace les probabilités p j par des probabilités p i,j := P Xn−1 =i[X n −
X n−1 = j] on arrive à une chaine de Markov.
1.2.1 Moments et cumulants
Exercice 1.2.1 Les moments et cumulants de la marche simple. Soit X 0 = 0 ∈ N le
capital initial d’un joueur. Au temps n = 1, 2, ..., le joueur gagnera Z n = 1 avec probabilité p
et perdera Z n = −1 avec probabilité 1 − p, où 0 < p < 1. Soit X n = X 0 + Z 1 + Z 2 + · · · + Z n
son capital au temps n.
Calculez :
1. L’esperance du son gain e n = EX n .
2. La variance du son gain v n = VarX n .