Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

3. La fonction génératrice des moments M(u, n) = Ee uXn .
4. La cumulant generating function κ(u, n) = log(Ee uXn ).
Notes : 1) Il est clair que ces propriétés de linéarité (de l’espérance , de la variance, et
de la cumulant generating function ), sont vraies pour chaque marche aléatoire.
2) La connaissance de la distribution ou de la fonction génératrice des moments d’une
variable X sont typiquement equivalents. Mais, pour une somme ∑ n
i=1 Z i des v.a. i.i.d.,
pendant que la comme distribution est la n-ième convolution p ∗,n de la p distribution de Z i ,
la fonction génératrice des moments Ee θ P n
i=1 Z i
est beaucoup plus simple à obtenir (ètant la
n-i`me puissance de la fonction génératrice des moments Ee θZ 1
).
Exercice 1.2.2 Soit m n = m n (X), n = 0, 1, 2, ... les moments d’une va X, soit κ X (u) =
log M X (u) = log( ∑ u n
n
m n! n) = ∑ u n
n
c n! n(X) la fonction génératrice des cumulants, où c n =
c n (X) = ∂n κ(u)
sont les cumulants.
(∂u) n u=0
a) Montrez (en utilisant eventuellement un logiciel symbolique) que ∀X, c 0 = 0, c 1 =
m 1 , c 2 = Var (X) = m 2 − m 2 1 , c 3 = m 3 − 3m 1 m 3 + 2m 3 1 , etc.
b) Montrez (en utilisant eventuellement un logiciel symbolique) que ∀X, m 2 = c 2 +
c 2 1 , m 3 = c 3 1 + 3c 1c 2 + c 3 .
Nt : 1) Le cumulant d’un ordre donné est un polynome dans les moments d’ordre plus
petit ou égal, et reciproquement.
2) Les coefficients de l’expansion des moments en fonction des cumulants sont donné par
des nombres des partitions.
3) Les cumulants d’une variable centré (m 1 = 0) coincide avec les moments jusqu’au
troisième ordre. C’est le quatrième cumulant, la ”kurtosis”, donné dans le cas centré par
c 4 = m 4 − 3m 2 2 , qui joue un role important dans certaines tests statistiques (comme de
nonnormalité, par exemple).
Exercice 1.2.3 Pour la marche simple, calculez
1. Le premier, deuxième et troisième cumulants κ i (n), i = 1, 2, 3 de X n , i.e. les premiers
trois coefficients dans l’expansion κ(u, n) = ∑ i κ i(n)u i en puissances de u.
2. Le deuxième moment de X n . Quelle est la particularité du cas p = 1/2?
3. Le troisième moment de X n .
1.2.2 La méthode du conditionnement sur le premier pas
Exercice 1.2.4 La marche aléatoire symetrique. On cherche a trouver la probabilité
d’un joueur qui s’engage dans une série de parties (indépendantes) à un jeu où à l’issue de
chaque partie il gagne 1F avec une probabilité 1/2 et perd 1F avec une probabilité 1/2, et qui
décide de s’arrêter de jouer dès qu’il aura B francs en poche, ou dès qu’il n’a plus d’argent.
Pour tout n ∈ N, on note X n la fortune du joueur au bout de n parties, et X 0 = i sa fortune
à l’entrée dans le Casino.
Ca revient a étudier la marche aléatoire symetrique
X n = X 0 + Z 1 + Z 2 + · · · + Z n , X n ∈ Z
avec P [Z n = 1] = P [Z n = −1] = 1/2, jusqu’au ”temps d’arrêt/sortie” T = min[T 0 , T B ]
quand le process sort de l’interval [0, B] (en prenant 0 et B comme états absorbants). On