Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
4.8 Examen d’entrainement 1
1. Calculer les probabilités de ruine p x , x ∈ N, pour une marche sur les nombres naturels,
avec la distribution de chaque pas donnée par : { p 1 = 6 7 , p −1 = 0, p −2 = 1 7}
. Vérifier la
positivité du résultat.
2. Soit X t une chaîne de Markov représentant le nombre de clients en attente dans un
arrêt de bus, dans le quel à chaque instant t = 1, 2, .. (en temps discret!) une seule
personne arrive (ou pas) avec probabilité p < 1, et en suite le bus arrive (ou pas) avec
probabilité q < 1, et prend tous les voyageurs (le dernier arrivé inclu).
a) Dessinez le graph de transitions de ce processus, en indiquant les probabilités λ et
µ pour que le nombre de voyageurs augmente et diminue respectivement, ainsi que la
probabilité z pour que ce nombre reste inchangé. Donnez la matrice des probabilités
de transition pour la chaîne X t .
b) Calculez la distribution stationnaire de X t .
c) Calculez, en utilisant un système de conditionnement, l’ésperance en sortant de 0
du nombre des pas ˜T 0 jusqu’au premier retour en 0.
d) Reprenez les question précédentes pour une file d’attente M(λ)/M(µ)/1, dans la
quelle le serveur sert chaque fois simultanément tous les clients qu’il trouve en
attente dans le tampon (arrivés dans la file après le début de son dernier service). Plus
précisément, donnez la matrice génératrice pour le processus X t . Indiquer les valeurs
des probabilités ˜λ et ˜µ pour que le nombre de clients augmente/diminue, au moment
du premier saut à partir d’un état n ≥ 0. Reprenez ensuite les questions b), c).
3. On lance une pièce de monnaie biaisée, avec la probabilité de sortir face égale à q et
celle de sortir pile égale à p = 1 − q, jusqu’à ce qu’on obtient une suite pile-face-pile
(arrivèes consécutivement). Trouvez l’espérance n du nombre de pas N jusqu’à l’arrêt,
(ou le nombre de jets, en incluant le dernier). Indication : On peut utiliser un processus
de Markov qui retient l’information minimale nécessaire pour décider si l’événement
désiré a eu lieu (et qui contient dans ce cas quatre états).
4. Soit X = (X t ; t ≥ 0) un processus de Markov en temps continu sur l’ensemble N, avec
générateur infinitésimal Gf(x) = µ 1 (f(x+1)−f(x))+µ −1 (f(x−1)−f(x))+µ −2 (f(x−
2) −f(x)), x ≥ 2 avec µ 1 = 1/2, µ −1 = 1/8, µ −2 = 3/8, et avec les passages impossibles
en 1 et 0 étant anulés (i.e. Gf(1) = µ 1 (f(2) − f(1)) + µ −1 (f(0) − f(1)) et Gf(0) =
µ 1 (f(1) −f(0))). Resolvez les équation de récurrence Gc(x)+h(x) = 0, x ≥ 1, c(0) = 0
satisfaites par le temps de vidage T = T 0 = inf{t : X(t) ≤ 0} et le coût de vidage
c(x) = E x
∫ T
0 X sds, obtenues respectivement pour h(x) = 1 et h(x) = x. Montrez que
c(x) = t(x)( x + 1
2
+ γ)
ou γ = E ss X t est le côut moyen stationnaire de ce processus. Donnez une explication
probabiliste de la partie w(x) = t(x) x+1
2
= c(x) − γt(x).
5. On lance une monnaie biaisée jusqu’à la premiére fois quand une pile arrive après un
nombre impaire de faces. Trouvez l’espérance n du nombre de pas de ce jeu, tenant
compte aussi de la dernière pile.
Solutions :