Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
2. La décomposition spectrale. Considerons d’abord le cas le plus simple d’une matrice
diagonalisable P, avec valeurs propres λ i et vecteurs propres à droite/gauche v i et
π i , normalisés tq π i v j = δ i,j . Soit Λ la matrice diagonale des valeurs propres, V une
matrice ayant v i comme colonnes, et Π une matrice ayant π i comme lignes.
Remarquons que la diagonalisation
Λ = V −1 PV = ΠPV ⇐⇒ P = V ΛΠ
nous permet aussi!!! de représenter P comme
P = ∑ i
λ i v i π i
(Dans le cas λ i = 1, ∀i, c’est juste la definition du produit matriciel, écrit en forme decomosé
comme somme de n matrices de rang 1).
On trouve alors dans le cas diagonalisable que
P n = V Λ n Π = ∑ i
λ n i v i π i
et que convergence peut avoir lieu seulement dans l’absence des valeurs propres λ i ≠ λ PF tq
|λ i | = λ PF (i.e., de périodicités). Dans ce cas,
P n =⇒ P →
∑ν PF
i:λ i =1
v (PF)
i π (PF)
i = V Π (1.17) alg
où V Π sont les matrices ayant v (PF)
i et π (PF)
i comme colonnes et lignes, respectivement.
Cette formule reste encore valable dans le cas général, même que la décomposition de
Jordan peut contenir des blocques nondiagonales, car les blocques de Jordan associées à des
valeurs propres tq |λ (i) | < 1 disparaissent dans la limite n → ∞. On obtient donc que dans
l’absence des périodicités dans les classes récurrentes, la limite de P n est donnée toujours
par (1.17).
Théorème 1.6.3 1. La multiplicité de la val. propre 1 est egale au nombre des classes
recurrentes.
2. Les vecteurs propres à gauche/droite correspondant à une classe recurrente A sont
respectivement de la forme π A , où π A est la distribution stationnaire de A completé
par des 0, et v A = (a T ,1 A ,0, où a T denote le vecteur des probabilité d’absorbtion dans
la classe A.
3. La limite P = lim n→∞ P n existe ssi la matrice P n’a pas des valeurs propres avec
|λ| = 1 à part la valeur propre de Perron-Frobenius λ PF = 1 (i.e. s’il n y a pas des
périodicités), dans quel cas elle est donnée par (1.17).
Dans ce cas, elle est egale à ∑ A v Aπ A .
Corollaire 1.6.1 1. La distribution stationnaire est unique ssi la valeur propre de Perron-
Frobenius λ = 1 a multiplicité 1.
2. Une chaîne de Markov est ergodique, i.e. P n =⇒ 1π ssi les deux conditions ci dessus
sont verifiées.