Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Solutions : a) M/M/c/0.
B(c, ρ) := π c =
ρ c
c!
∑ c ρ n
n=0 n!
Cette ”probabilité de perte” obtenue par Erlang(1921), est appellée la formule Erlang-B.
b) M/M/c.
{
π c ( ρ c
π n =
)n−c , n ≥ c
ρ
π n
0 , n ≤ c,
n!
où π0 −1 = ∑ c−1 ρ n
n=0
+ ρc 1
∼ n! c! 1−ρ/c eρ pour grand c, et ”l’intensité du traffic offert per serveur”
satisfait ρ c := ρ ≤ 1. c
−ρ ρn
Pour n ≤ c, c → ∞, π n ∼ e , i.e. le nb. des clients=nb. des serveurs utilisés est
n!
approximativement Poisson!
α = C(c, ρ) :=
∑ c−1
n=0
ρ c 1
c! 1−ρ/c
ρ n
+ ρc
n! c!
1
1−ρ/c
=
∑ c−1
n=0
ρ c 1
(c−1)! c−ρ
ρ n
+ ρc
n! (c−1)!
1
c−ρ
=
1
1 + (1 − ρ/c)B(c − 1, ρ) −1
La ”probabilité d’attendre” α est appellée la formule Erlang-C, et elle sert de ”base”
dans d’autres formules. Par exemple,
ρ
EN q = C(c, ρ)
c − ρ
ρ
EN = ρ + C(c, ρ)
c − ρ
et le temps moyen d’attente est EW q = C(c, ρ) µ−1
c−ρ
(par la formule de Little).
Exercice 3.6.2 a) Quelles sont les limites lim ρ→0 B(c, ρ), lim ρ→∞ B(c, ρ) quand c est fixe?
b) Determinez la limite de B(c, ρ = ψc) quand c → ∞ et ψ est fixe, dans les cas ψ < 1(c >
ρ), ψ > 1(c < ρ). c) Determinez la limite de B(c, ρ) et l’approximation asymptotique de
α = P[W > 0] quand ρ = c − β √ c, avec β fixe.
Sol : b) Par l’approximation normale,
[
B(c, ρ) = P[P ρ = c] P
P[P ρ ≤ c] ∼
N ∈ [ c−.5−ρ √ ρ
P
[
N ≤ c+.5−ρ
]
, c+.5−ρ √ ρ
]
] = φ(c−ρ
√ ρ
√ ρ
)
√ ρΦ(
c−ρ
√ ρ
)
Pour c−ρ √ ρ
= β, ψ < 1, ψ > 1, on trouve respectivement
⎧
φ(β)
√ ⎪⎨ ρ Φ(β)
φ(∞)
B(c, ρ) ∼ √ ρΦ(∞)
= 0
∞×1
⎪⎩
= 0
.
φ(x)
lim x→−∞ = lim −xΦ(x) x→∞
φ(x) = 1 x¯Φ(x)
c) par l’approximation normale,
α =
∼
1
1 + (1 − ρ/c)B(c − 1, ρ) −1
1 1
1 + √ β Φ(β) √ =
c
c
1 + β Φ(β)
φ(β)
φ(β)
(3.2) HW