Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
(e) Calculez ¯P 1 (t) = P[T (3) ≥ t|X 0 = 1] et ¯P 2 (t) = P[T (3) ≥ t|X 0 = 2] à partir directement
des équations de Chapman-Kolmogorov, et comparez les réponses avec ceux de la
question précedente. Vérifiez aussi que x i = ∫ ∞
0
¯P i (t)dt,i = 1,2.
7. Des femmes et des hommes arrivent dans un magasin, après des temps fixes, unitaires. Chaque
instant, une femme arrive avec probabilité λ F , ou un homme arrive avec probabilité λ H , ou
il n’y a pas d’arrivée, avec probabilité λ 0 = 1 − λ F − λ H .
(a) Trouver la probabilité p F qu’une femme entre avant un homme. Indication : Conditionnez
sur le premier instant, ou sur le nombre d’instants sans arrivées.
(b) Trouver la probabilité que deux femme entrent consecutivement (i.e. avec aucun homme
entre eux, mais pas forcement aux moments consecutifs) avant qu’un homme entre.
(c) Trouver la probabilité qu’au moins deux hommes soient entrés consecutivement (i.e.
avec aucune femme entre eux, mais pas forcement aux moments consecutifs), avant que
trois femmes ne soient entrées consecutivement. Indication : Considèrez un processus
de Markov sur l’espace des états : (H1,H2,H3,...) ∪ (F1,F2,F3,...), qui enregistre
au temps t la longueur k de la dernière série des clients k ∈ {1,2,...} du même sexe
entrés consecutivement, et leur sexe (H/F) ; formulez des equations d’arrêt pour les
états d’arrêt indiqués.
(d) Quelle est la probabilité qu’au moins m hommes soient entrés consecutivement, avant
que n femmes ne soient entrées consecutivement ?
Solutions :
1. a) Les nombres des erreurs N i sur chaque page i sont des variable de Poisson ”coloriée” avec
probabilité 1/n, et donc N i sont des variables de Poisson de taux λ/n (independantes). La
probabilité que N i ≥ 1 est 1 − e −λ/n .
b) En decomposant la variable N comme somme des indicatrices, l’espérance de N = ∑ n
i=1 N i
est n(1 − e −λ/n ) (en fait, N a une distribution binomiale, car N i sont independants, par le
théorème de coloriage des variables Poisson).
2. a) L’espérance des sinistres est m 1 = 1
6×2 + 5
6×6 = 2 9 et le taux de profit p = 1 9 .
b) La transformée de Laplace est ψ ∗ (s) = 1 s − 1/9
= 5
s(3/9− 1
6(s+2) − 5
6(s+6) ) 9(s+1) + 1
9(s+4)
probabilité de ruine est ψ(u) = 5 9 e−u + 1 9 e−4u .
3. Considerons le processus de Markov sur les états suivants, qui specifient une decomposition
des trois dernièrs résultats posibles : A = {PFP},PF = {PF},F = {P c F },P = {(PF) c P },
et soit x PF ,x F ,x P ,x A = 0 le nombre esperé des pas jusq’á l’arrêt, conditionné par ces états
initiaux. La réponse est n = 1 + px P + qx F .
Rq : La somme des probas de tous les états est : ppq + pq + q 2 + p(1 − pq) = p + q = 1, donc
il s’agit vraiment d’une decomposition de l’espace des états.
Les trois inconnues satisfont :
x P = 1 + p ∗ x P + q ∗ x PF ⇐⇒ x P = q −1 + x PF ,
x F = 1 + p ∗ x P + q ∗ x F ⇐⇒ x F = p −1 + x P = p −1 + q −1 + x PF ,
x PF = 1 + q ∗ x F ⇐⇒ x PF = 1 + q ∗ p −1 + 1 + qx PF ⇐⇒ x PF = 2/p + q/p 2
et la
x PF = 1 + p
p 2 , x P = 1 + p
p 2 + 1 q = 1
p 2 q ,
x F = p −2 + q −1 + 2p −1 = p −2 + (pq) −1 + p −1
n = 1 + pq
p 2 q
4. b) La distribution stationnaire est π n+1 = π 0 ρ 0 ρ n , avec ρ 0 = 4 3 ,ρ = 4 4 , et π 0 = 3
23 .
c,d) P[X t ≥ 1] = 20
23 ,P[X t ≥ 2] = 16
23 .
e) 4 9 .