Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

1.5.3 Les probabilités d’absorbtion
Définition 1.5.4 Soit X t un processus, soit E un sous-ensemble arbitraire de l’espace d’états
, et soit ∂ son complémentaire. On appelera processus absorbé en l’ensemble d’arrêt ∂
le processus ˜X t obtenu à partir de X t en modifiant tous les états en ∂ en sorte qu’ils soient
absorbants.
Dans le prochaine exemple, nous utilisérons plusieurs ensembles d’arrêt.
Exemple 1.5.2 Pour une marche aléatoire X t , t = 0, 1, 2, ... sur le graphe papillon
ci-dessous, calculer :
O
U
B
A
Fig. 1.3 – Marche aléatoire simple sur le graphe papillon
C
1. L’espérance n U en sortant de U du nombre de pas N jusqu’au noeud O. Indication :
Utiliser la symmetrie.
2. Les probabilités stationnaires de chaque noeud.
3. L’espérance en sortant de O du nombre de pas ÑO jusqu’au premier retour à O.
4. La probabilité p A = P A {X N = O} = P A {N O < N U }, où N = min[N U , N O ].
Solution : 4) En résolvant le système d’absorbtion pour p A , p B , p C , on trouve p A =
3/4, p B = 1/2, p C = 1/4.
Exercice 1.5.2 Etant donnée une chaîne finie avec deux états absorbants 0, B et le reste
des états transitoires, Obtenez un système et une formule explicite pour le vecteur b = (b i =
P i [X T = B], i ∈ T ).
Sol : b = Qb+a B ⇐⇒ b = (I−Q) −1 a B où a B est le vecteur des probabilités d’absorbtion
directe en B (i.e. après un pas).
Supposons qu’il y a plusieurs états absorbants à probabilités d’absorbtion p (j) , j ∈ S −∂,
qui donnent des ”prix finals” f = {f j , j ∈ ∂}, posons ˆp i = E i f(N), et ˆp = {ˆp i , i ∈ S − ∂}
le vecteur de prix finals esperés. Le calcul de ˆp est le fameux problème de Dirichlet. Par
exemple, pour f j = {0, ..., 0, 1, 0, ...} = {δ j (i), i = 1, 2, ...} (avec le 1 sur la position j) on
obtient les probabilités d’absorbtion ˆp i (j) = P i {X N = j} = E i I {XN =j}.
La théorie des chaînes pour les quelles tous les états récurrents sont absorbants peut être
utilisée pour étudier n’importe quelle chaîne, en modifiant certaines transitions.
Théorème 1.5.2 Le vecteur ˆp d’espérances d’un ”prix final” f satisfait le système d’absorbtion
ˆp = Qˆp + P (T ,∂) f