Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
p = q. On verifie facilement que le temps esperé de retour est ∞ ; ce cas qui peut aparaitre
seulement sur les espace d’états infinis s’apelle nulle recurent. Dans le cas des marches
récurrentes avec E i < ∞, appellé récurrent positif, on peut vérifier que la distribution
stationnaire est π i = E −1
i .
Pour la marche simple, on peut aussi calculer E par la decomposition
E =
∞∑
P[S 2k = 0] =
k=0
∞∑
k=0
( 2k
k
)
(pq) k = 1/(1 − 4pq) 1/2 = |2p − 1| −1 = |p − q| −1 .
Le resultat est obtenu en verifiant le quotient des termes consecutifs dans la serie cidessus;
on aperçoit alors qu’on a a faire avec la serie hypergeometrique 1 F 0 [ 1/2
− ; −4pq] =
1
(ce genre des sommes ont des formules explicites, qu’on peut decouvrir facilement
(1−z) 1/2
avec un logiciel symbolyque, assez souvent) 1 .
Rm : La dernière expresssion est valable aussi pour la marche paresseuse avec p+q < 1.
1.2.6 Problèmes de premier passage sur un intervalle semi-infini
Soit ψ n := lim B→∞ a n (B) la probabilité de ruine sur [0, ∞). Nous avons deja vu, en
partant des recurrences sur un domaine borné [0, B], que :
ψ n =
{
(q/p) n ,
q < p
1, q ≥ p.
Cette solution peut être trouvée aussi directement, sans passer par la probabilité de
ruine sur [0, B], en s’appuyant sur des des arguments probabilistes. On remarque d’abord
que cette fonction est multiplicative en n, i.e. ψ n = ρ n , et en suite on choisit ρ selon la limite
de X n quand n → ∞.
La solution la plus simple est en effet de remarquer que l’absence des sauts strictement
plus grands que 1 implique une propriété de multiplicativité, ce qui impose une solution
puissance. Mais, bien-sur, cette approche ne peut pas contribuer à l’étude des marches ”nonsimples”
dans les deux directions.
Examinons maintenant la méthode de fonctions génératrices (analogues à la transformée
de Laplace), qui n’est pas réellement necessaire pour la marche simple, mais qui est la
méthode la plus puissante pour la resolution des èquations de differences (différentielles).
On ajoute les équations ψ n = pψ n+1 +qψ n−1 multipliées respectivement par z n , n = 1, 2, ..
On obtient ainsi une èquation pour la fonction ψ ∗ (z) := ∑ ∞
n=1 zn ψ n :
où Φ(z) = Ez Z 1
= pz −1 + qz
ψ ∗ (z) = pψ 1
Φ(z) − 1
1 On peut aussi utiliser la representation P k = Coef(0, Ez S k
). On trouve E = ∑ ∞
k=0 Coef(0, EzS k
) =
Coef(0, ∑ ∞
k=0 (pz + qz−1 ) k z
) = Coef(0,
z−pz 2 −q ) = Coef(0, 1
p−q ( 1
1−z − 1
1−pz/q
)) = ..., ou l’inversion de la
transformée de Fourier. Cette méthode aboutisse aussi en deux dimensions, en ramenant a des integrales
eliptiques