Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
˜Gn + 1 = 0
n i = 0,
∀i ∈ ∂
˜Gl(s) − sl = 0
l j (s) = 1 A (j),
∀j ∈ ∂
où ˜G = (B, b) denote la matrice generatrice avec les lignes des états recurentes enlevées.
Conclusion : Nous avons observé dans les chapitres precedants trois idées très importantes
dans la modélisation Markovienne :
1. Pour les chaînes et processus de Markov, l’étude des esperances des diverses fonctionelles,
vues comme fonctions de l’état initial, ramène a des systèmes linéaires avec une
inconnue pour chaque état initial possible.
2. Ces systèmes peuvent être obtenues par la méthode du conditionnement sur le premier
pas.
3. Les diverses systèmes associés avec un processus fixe implique toujours la même partie
homogène appellée ”operateur” ou générateur du processus (dans le cas des chaînes
de Markov en temps discret et à espace d’états fini ou dénombrable, l’ operateur est
simplement P − I, où P est la matrice de transition P). Par contre, les conditions
frontière, termes non-homogènes, et d’autre ”details” (comme la presence/absence d’un
multiple de l’operateur identité) varient d’un problème à l’autre.
Il s’avère que ces principes s’appliquent pour toutes les processus de Markov, X t ,
différents qu’elles soient, vivant sur des espaces S considerablement plus compliqués, la
seule difference étant que l’operateur G X : F(S)− > F(S) associé a ces processus sera plus
compliqué!
On arrivent toujours aux mêmes èquations, obtenues juste en remplaçant un operateur
par un autre.
Par exemple, les problèmes concernant les marches simples ont aussi des versions pour le
mouvement Brownien, qui est un processus à espace d’états continu, avec chemins continus
(obtenu en considérant des marches simples avec incréments infinitésimaux ±ǫ, et en prenant
la limite ǫ → 0). Les équations resterons les mêmes, mais l’operateur des difference et
remplacé par loperateur differentiel ∇ (le Laplacien).
En conclusions, il existe une correspondance/dictionnaire un á un entre les processus de
Markov et une certaine classe d’operateurs deterministes associés.
1.6 Chaînes de Markov à espace fini : analyse spectrale
et comportement limite
En vue de la representation exponentielle des semigroupes, l’importance de l’analyse
spectrale des generateurs est evidente. Dans ce chapitre, nous allons approfondir ce sujet
dans le cadre le plus simple des chaînes de Markov à espace fini.