Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Théorème 1.3.1 Une fonction monotone satisfaisant l’équation fonctionnelle
doit être linéaire, i.e.
(∗∗) f (t + h) = f (t) + f (h) pour tous t, h ≥ 0
f(t) = tf(1)
Démonstration: : A partir de (∗∗) , on obtient que :
( m
) ( ( 1
∀m, n ∈ N , f = f
n n
)) m
=
(
(f (1)) 1 n
) m
= (f (1))
m
n
Montrons que f (1) ≠ 0 : si f (1) = 0 alors d’après ce qui précède f est nulle sur Q + ,
or on sait que pour tout réel x > 0 , il existe r dans Q + tels que r ≤ x , comme f est
décroissante, on aura alors 0 ≤ f (x) ≤ f (r) = 0 donc f (x) = 0 et f = 0, ce qui est
faux.
Par conséquent les fonctions f et x ↦→ (f (1)) x = e xln f(1) coïncident sur Q + , comme ces
fonctions sont continues sur R + , on peut alors affirmer que ∀x ≥ 0 , f (x) = e x lnf(1)
On sait que lim x→+∞ f (x) = 1 − lim x→+∞ F X (x) = 0 donc ln f (1) < 0 et on peut
écrire que
∀x ≥ 0 , F X (x) = 1 − e −λx avec λ = − ln f (1) > 0
et on en déduit que la loi de X est une loi exponentielle.
1.3.2 Le processus de Poisson multidimensionel
Soit λ une constante. On appelle champs (où processus) de Poisson homogène d’intensité
λ sur R d un ensemble des v.a. N(A) index’ees par les sous-ensembles A ⊂ R d tq :
1. indépendance : si les sous-ensembles A 1 , ..., A k ⊂ R d sont disjoints, alors les variables
N(A 1 ), ..., N(A k ) sont indépendantes
2. stationarité : la distribution des variables N(A + t), t ∈ R d ne dépend pas de t
3. N(A) est une variable Poisson d’intensité c = λ m(A), où m(A) est la mesure de
Lebesgue.
Rq :
1. Un processus ayant les propriétés (1) et (2) s’appelle processus de Levy.
2. En fait, la troisième condition peut être remplacée par une condition beaucoup plus
faible : N(A) ∈ N, et la probabilité de plus d’un point dans des ensembles petits est
négligeable, i.e. P[N(A) ≥ 2] = o(P[N(A) = 1]), quand m(A) → 0.
Pour t ∈ R, on arrive au processus de Poisson uni-dimensionel. Dans ce cas, on étudie les
variables aleatoires indexées par les intervalles A = [a, b], et on reserve le nom de processus
de Poisson pour le processus N(t), t ∈ R, défini par N(t) := N([0, t]). Les variables N(A) =
N(b) − N(a) sont appellées alors ”incréments” du processus N(t).
dP1 Définition 1.3.1 Un processus qui a des acroissements independents (PAI) et pour le quel
il existe une constante λ > 0 tq pour tout t > 0, la variable aléatoire N t+s − N s suit une loi
de Poisson de paramètre λt :
p k (t) := P{N t+s − N s = k} = (λt)k
k!
s’appelle processus de Poisson homogène.
e −λt