Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

More documents

Recommendations

Info

$Separation and imaging of seismic diffractions using plane-wave ...$

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT Remarque 1.6.3 L’existence d’une boucle, i.e. p ii > 0, assure l’apériodicité. Exemple 1.6.2 Une classe de communication à matrice de transition ˜P, pour laquelle il existe un entier c tel que ˜P c = I, apellée cyclique d’ordre c, est forcement périodique, et la période d est parmi les diviseurs de c. Par exemple, en changeant la classe transitoire dans l’exemple ci-dessus en sorte qu’elle contient un cycle de longueur 4 et un de longueur 2, on obtient une classe cyclique d’ordre 4 et période 2. L’existence de la matrice des distributions à la longue est liée à la question de la périodicité. per Exemple 1.6.3 ⎛ P = ⎜ ⎝ 1 1 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 1 1 1 1 4 4 4 4 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0 0 1 2 ⎠ 3 3 0 0 0 0 0 1 1 2 2 On aperçoit immédiatement la classe récurrente 6, 7 et les classes transitoires 1 et 2, 3, 4, 5. La dernière classe est le collage des deux cycles de période 3, ce que donne immédiatement que A 2 = {3k, k ≥ 0} = {3, 6, 9, ...}. Si par contre un de ces cycles avait une longueur pas divisible par 3, par exemple 4, on aurait eu : A 2 = {3k + 4l, k, l ≥ 0} = {3, 4, 6, 7, 8, 9, ...}, dans quel cas A 2 contien tous les nombres en partant de 6. On voit que les ensembles A i contiennent toujours tous les nombres de la forme k d(i), pour k assez grand (cela est un résultat valable pour n’importe quel semigroup de N). En ce qui concerne la périodicité, il y a deux possibilités pour A i , en dépendant de d=p.g.c.d de la longueur des deux cycles : 1. Dans le cas d = 1, cet ensemble contien “tous les nombres assez grands” (en partant d’un certain point). 2. Dans le cas d > 1, cet ensemble est un sous ensemble du sous groupe d N. Donc, la matrice P (n) = P n ne peut converger quand n → ∞ (car il y aura des 0 qui alternent avec des nombres positives pour toujours : voir par exemple la marche cyclique sur Z 3 ). Remarque 1.6.4 On vera que la périodicité des classes transitoires n’empêche pas du tout le calcul de la matrice de distributions à la longue, parce que la masse totale de la partie transitoire d’une chaîne converge vers 0 (voir la troisième remarque qui suit le théorème ??). Par contre, la périodicité dans une classe récurrente rend la convergence impossible. On peut démontrer que son absence assure la convergence, car cela est équivalent à l’absence des valeurs propres qui sont racines de l’unité, et à l’absence des valeurs propres de valeur absolue |λ| = 1, sauf λ = 1 (par Perron-Frobenius). Finalement, le fait que λ n converge pour chaque valeur propre λ assure l’existence de la limite lim n→∞ P n . Donc, la limite à la longue P = lim n→∞ P n (i, j) d’une chaîne existe ssi il n’y a pas des classes récurrentes périodiques.
1.6.4 Le théorème de Perron-Frobenius Exercice 1.6.1 Est-ce qu’il existent des matrices réeles 2 × 2, sans éléments négatifs, et avec des valeurs propres complexes? La réponse est un cas particulier du : Théorème 1.6.2 (Perron-Frobenius) Soit P une matrice finie sans éléments négatifs. Alors : 1. Parmi les valeurs propres de module maximal il existe toujours une, λ = λ PF qui est réelle positive, qu’on apellera la valeur propre PF (de Perron-Frobenius). Dès lors, toutes les autres valeurs propres ont une valeur absolue inférièure ou égale à la valeur propre λ PF . 2. Le bloque de Jordan correspondant à λ PF a une structure diagonale (i.e. la multiciplité algebrique ν PF de λ PF est égale à la dimension de son espace de vecteurs propres), et les espaces des vecteurs propres à droite et à gauche de λ PF contiennent chacun une base de vecteurs propres v (PF) i , π (PF) i , i = 1, 2, ..., ν PF ayant toutes leurs composantes nonnégatives. 3. S’il y a d’autres valeurs propres égales à λ PF en valeur absolue, elles doivent être des racines de λ PF , i.e. de la forme λ 1/p PF , p ∈ N. Rémarque : Le théorème de PF a plusieurs implications pour l’analyse des chaînes de Markov homogènes à espace d’états fini. Par exemple, l’existance des valeurs propres qui sont des racines de λ PF est équivalente à la presence des périodicités dans la suite des puissances P n , n = 1, 2, ... e:PF Exercice 1.6.2 Démontrer qu’une matrice stochastique P n’a pas de valeurs propres avec module plus grand que 1, et donc sa valeur propre PF est égale à 1. Ind : Inyuitivement, les moyennes ponderées de v données par Pv ne peuvent pas augmenter les composantes de v. Exercice 1.6.3 Montrez que le théorème de Perron-Frobenius implique : 1. Une chaîne homogène à espace d’états fini a au moins une distribution stationnaire. 2. La dimension de l’espace d’états des distributions stationnaires coincide avec le nb des classes de récurrence. 1.6.5 Le comportement limite des chaînes, à partir de la représentation spectrale Le comportement limite de chaînes de Markov, i.e. le calcul de lim p 0P n := p 0 P n→∞ est facile à obtenir via une approche completement algébrique, en utilisant : 1. le théorème PF. Plus precisément, le fait que 1 est la valeur propre PF pour toutes les matrices stochastiques P (exercice (1.6.2), et que donc dans l’absence des classes périodiques, toutes les autres valeurs propres sont strictement inférièures à 1 en valeur absolue.
Page 1 and 2:
Processus de Markov, de Levy, Files
Page 3 and 4:
1.5.4 Les distributions et transfor
Page 5 and 6: Définition 1.1.2 Soit X . = X t ,
Page 7 and 8: 3. La fonction génératrice des mo
Page 9 and 10: et du fait que les distributions co
Page 11 and 12: B U A O Fig. 1.1 - Marche aléatoir
Page 13 and 14: Trouvez T n . b) Calculez T(z) =
Page 15 and 16: 3. Quand p = q = 1/2, b x = P x [X(
Page 17 and 18: En demandant que c n = c p (n) + A(
Page 19 and 20: De lors, ψ ∗ (z) = 1 1 − z −
Page 21 and 22: et alors c = −2 et c 2 = 2c 1 + 1
Page 23 and 24: toujours à des sommes closes. Une
Page 25 and 26: Solution : 1. C’est une équation
Page 27 and 28: Théorème 1.3.1 Une fonction monot
Page 29 and 30: Il est facile de voir que le nombre
Page 31 and 32: continu par un processus de Bernoul
Page 33 and 34: Le processus (X t ) t≥0 peut alor
Page 35 and 36: 1.4 Les semigroupes de Markov homog
Page 37 and 38: Or, on sait que p 11 (0) = 1 donc C
Page 39 and 40: (a) Donnez la formule exacte, ainsi
Page 41 and 42: et x 1 = 2 1 + 1 1 = 7 , x 3 5 3 8
Page 43 and 44: Par exemple, les systémes associé
Page 45 and 46: 1.5.3 Les probabilités d’absorbt
Page 47 and 48: Exercice 1.5.5 a) Calculez l’espe
Page 49 and 50: Corollaire 1.5.5 Soit X t un proces
Page 51 and 52: ( q1 p 1 | ) 0 ser Exercice 1.5.15
Page 53 and 54: 1.6.1 L’existence de la matrice d
Page 55: Le calcul des probabilités d’abs
Page 59 and 60: En conclusion, l’étude de l’ex
Page 61 and 62: distribution stationnaire π ∞ de
Page 63 and 64: On aperçoit par la structure de ma
Page 65 and 66: 1.7 Exercices 1. Considérez une pa
Page 67 and 68: permutation cyclique de ses éléme
Page 69 and 70: ii. E ˜T 0 = 1 + 1 4 (t 2 + t 3 +
Page 71 and 72: et finalement p H y 1 + p F x 1 = p
Page 73 and 74: (c) En résolvant le système d’a
Page 75 and 76: Chapitre 2 Processus de Levy : marc
Page 77 and 78: Définition 2.2.1 Le processus de r
Page 79 and 80: Chapitre 3 Processus de naissance-e
Page 81 and 82: Rémarque : Dans tous ces cas, le g
Page 83 and 84: Théorème 3.2.1 (admis) Soit (X t
Page 85 and 86: 3. Montrez que la transformée de L
Page 87 and 88: 3. Obtenez et resolvez l’équatio
Page 89 and 90: Comme Gz x = z x (λ(z −1)+µ(z
Page 91 and 92: Exercice 3.6.3 Montrez que B(c, ρ)
Page 93 and 94: 3.7 Exercices 1. Soit X t une file
Page 95 and 96: 3.8 Les probabilités transitoires
Page 97 and 98: Rémarquons aussi que la fraction c
Page 99 and 100: fig1 X(t): Risk process: skipfree u
Page 101 and 102: Note : For Cramer Lundberg processe
Page 103 and 104: (ρ is sometimes called ”geometri
Page 105 and 106: The unconditional distribution of a
Page 107 and 108:
Let b e (x) = ¯B(x)/m 1 = ∑ I ˜
Page 109 and 110:
Notes : 1) This was first derived v
Page 111 and 112:
1. Les probabilités de ruine satis
Page 113 and 114:
2. Soit Y (t) un processus de Cram
Page 115 and 116:
5. a) La distribution stationnaire
show all

Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?