Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

2. Soit Y (t) un processus de Cramér-Lundberg
Y (t) = u + c t − C(t), C(t) =
N(t)
∑
i=1
C i , (4.24) CL
où N(t) est un processus de Poisson d’intensité λ = 1, et les sinistres C i ont une distribution
hyperexponentielle ¯F C (x) = 1 6 e−2x + 5 6 e−6x .
a) Calculez l’espérance des sinistres m 1 = EC 1 et le taux de profit p = c − λm 1 , si le taux de
cotisation est c = 3m 1 /2.
b) Calculez la probabilité de ruine ψ(u), à partir de la formule de Pollaczek-Khinchin pour
sa transformée de Laplace
ψ ∗ (s) = 1 s − p
κ(s) ,
où l’exposant de Lévy est κ(s) = s ( c − λ ¯F ∗ C (s)) .
3. On lance une pièce de monnaie biaisée, avec la probabilité de sortir face égale à q et celle
de sortir pile égale à p = 1 − q, jusqu’à ce qu’on obtient une suite pile-face-pile (arrivèes
consécutivement). Trouvez l’espérance n du nombre de jets N jusqu’à l’arrêt, en incluant le
dernier.
4. Soit X t un processus Markovien en temps continu, représentant le nombre de clients dans
une file d’attente avec deux serveurs A,B, ayant des taux de service µ 1 = 3 et µ 2 = 2,
respectivement, et une salle d’atente infinie. Les clients arrivent suivant un processus de
Poisson de taux λ = 4; si un seul client est présent, il est servi par le serveur le plus efficace.
a) Dessinez le graph de transitions du processus X t , et donnez la matrice génératrice des
probabilités de transition, et la matrice dws probabilités de transition de la chaîne discrétisée
associée aux temps de saut.
b) Calculez la distribution stationnaire de X t .
c) Quelle est la proportion du temps pendant le quel le serveur B est occupé ?
d) Quelle est la proportion du temps pendant le quel le serveur A est occupé ?
e) En sachant qu’au temps 0 les deux serveurs sont occupés et qu’il n’y a personne qui attend
dans la file, quelle est la probabilité que le premier client qui arrive doit attendre ?
5. Soit X = (X t ;t ≥ 0) un processus de Markov en temps continu sur l’ensemble N, avec
générateur infinitésimal Gf(x) = µ −1 (f(x − 1) − f(x)) + µ 2 (f(x + 2) − f(x)),x ≥ 1 avec
µ −1 = 6/7,µ 2 = 1/7, et avec Gf(0) = µ 2 (f(2) − f(0))).
a) Calculez la distribution stationnaire de X t .
b) Calculez l’espérance t(x) = E x T, où T = T 0 = inf{t : X(t) ≤ 0} est le temps de vidage,
∫ T
ainsi que le coût de vidage c(x) = E x 0 X sds, en résolvant les équations de récurrence
Gc(x) + h(x) = 0,x ≥ 1,c(0) = 0 où h(x) = 1 et h(x) = x, respectivement.
6. Soit X = (X t ;t ≥ 0) un processus de Markov en temps continu sur l’ensemble S = {1,2,3}.
Supposons que la matrice infinitésimale (de taux de transitions) de X est donnée par
G =
( −3 2 1
1
1
−2
6
1
−7
(a) Quelles sont les probabilités de transition de la chaîne discrétisée associée aux temps de
saut?
(b) Quelle est la loi conditionelle de T 3 = inf{t ≥ 0 : X t ≠ 3}, en sachant que X 0 = 3 ?
(c) Posant T (3) = inf{t > T 3 : X t = 3}, donnez un système des équations pour x 1 =
E[T (3) |X 0 = 1] et x 2 = E[T (3) |X 0 = 2]. Résolvez les équations.
(d) Calculez, pour le processus absorbé en 3, P i,j (t) = P[t ≤ T (3) ,X(t) = j|X 0 = i],i = 1,2.
)