Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
où t p (x) est une solution particulière et h(x) est la solution générale de l’équation
homogène. Commençons par l’équation homogène.
La solution générale homogène (”fonction harmonique”) h(x) = A + Bx pour cet
opérateur a été déjà obtenue ci-dessus.
Nous aimerions maintenant trouver une solution particulière t p (x) de l’équation Gt p (x) =
−1 de la même forme que la partie nonhomogène −1 de l’équation, donc t p (x) = C;
mais, comme les constantes, et puis aussi les fonctions linéaires vérifient l’équation
homogène Gt p (x) = 0, nous devrons modifier deux fois cette forme en multipliant par
x, en arrivant donc à t ( x) = Cx 2 . Comme Gx 2 = 2x(p − q) + 1 = 1, on trouve C = −1
et finalement la solution particulière t p (x) = −x 2 .
La solution générale est donc t(x) = −x 2 +A+Bx et les conditions frontière ramènent
à t x = x(B − x).
Pour p ≠ q
t x = pt x+1 + qt x−1 + 1 for any 1 ≤ x ≤ B − 1
t B = 0
t 0 = 0
La solution generale homogène avec p ≠ q est h(x) = k 1 (q/p) n + k 2 et le terme
nonhomogène 1 sugere une solution particulière constante k, mais comme ça satisfait
l’équation homogène, on modifie à kn. Finalement, k = 1 . q−p
La solution particulière est t p (x) = x ; elle satisfait deja t q−p p(0) = 0. La partie homogène
h(x) = t x − t p (x) devra aussi satisfaire h(0) = 0 et donc elle sera de la forme h(x) =
A˜h(x) où ˜h(x) = ((q/p) x − 1).
En demandant que t n = n + q−p A(q/p)n − 1) satisfait la condition frontière t B = 0 on
trouve :
t n = t p (n) − t p (B) ˜h(n)
˜h(B) =
{
∞
n
q − p −
B (q/p) n − 1
q − p (q/p) B − 1 .
si p > q
La limite quand B → ∞ est t n =
; on peut aussi obtenir ce
t p (n) = n si p < q
q−p
resultat en utilisant l’approximation détérmiste X n − X 0 ∼ nE(Z 1 ), appellée aussi
limite fluide.
7. c x = E x [ ∑ T −1
0
X(t)] (coût total d’inventaire ésperé) satisfait le système inhomogène
Gc(x) + x = 0, c(0) = 0, c(B) = 0.
Pour p = q :
c x = c x+1
2 + c x−1
+ x for any 1 ≤ x ≤ B − 1
2
c B = 0
c 0 = 0
Une solution particulière est c p (x) = −x3.
Finalement, on arrive à c(x) = x(B2 −x 2 )
.
3 3
Pour p ≠ q, une solution particulière est c p (x) =
x2 (elle satisfait deja c 2(q−p) p(0) = 0).
La partie homogène satisfaisant h(0) = 0 sera toujours h(x) = A˜h(x) où ˜h(x) =
((q/p) x − 1).