Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
où x = p . Parfois, ces sommes peuvent être déduites à partir de l’identité (1 + q x)m =
∑ m
i=0 Ci mx i en dérivant ou en intégrant. Mais, le proces d’integration n’abouti pas
toujours à des sommes closes. Une somme S n = ∑ n
1 f n est une solution d’une relation
de recurrence de premier ordre S n − S n−1 = f n et donc la question de l’existence
des formules closes pour f n polynomes ou fonctions rationelles est un cas particulier
de la question de l’existence des formules closes pour les recurrences avec coefficients
polynomiaux.
Cette question est assez difficile, et le plus efficace est d’utiliser un logiciel symbolique.
Ceux ci nous informent s’il y a des formules closes dans la famille relativement simple
des solutions ”d’Alembertiennes”, ou si non.
7. (a) Quand |B| = 1, on trouve une distribution geometrique p x (k, {x}) = λ k−1 (1 − λ)
où : 1−λ = p x (1, {x}) = Q(x, ∂(A)+ ∑ ∑
y∈A−B p(x, y)P y[T ∂(A) < T x ] = Q(x, ∂(A)+
y∈A−B p(x, y)(1−P y[T ∂(A) > T x ]), et λ = Q B,B + ∑ y∈A−B p(x, y)P y[T ∂(A) > T x ] =
Q B,B + Q B,A (I − Q A ) −1 Q A,B , car pour k ≥ 2 on a :
p x (k, {x}) = ∑
p(x, y)P y [T ∂(A) > T x ]p x (k − 1, {x}) = λp x (k − 1, {x})
y∈A−B
Pour le papillon, B = {3}, λ B = x 1 + x 2 + cx 4 = 5/8 et pour B = {1}, λ B = 3/8.
(b) Il est convenable de partager p k = (a k , b k ), où b k = (p x (k, B), x ∈ B), a k =
(p x (k, B), x ∈ A, x /∈ B). On peut supposer qu’il y a un seul état absorbant (en
”collant ensemble” tous les états absorbants), et soit
⎛
⎞
Q A Q A,B | q A
P = ⎝Q B,A Q B | q B
⎠
0 0 | 1
la partition de la matrice de transition contenant les états dans l’ordre A−B, B, ∂.
On a b 0 = 0, b 1 = q B + Q B,A a 0 et
a 0 = q A + Q A a 0 =⇒ a 0 = (I − Q A ) −1 q A ,
b 1 = q B + Q B,A (I − Q A ) −1 q A
Pour k ≥ 2, x ∈ B, p x (k, B) = ∑ y∈A P(x, y)p y(k − 1, B), et donc
b k = Q B b k−1 + Q B,A a k−1
tant que pour x /∈ B, k ≥ 1, p x (k, B) = ∑ y∈A P(x, y)p y(k, B) et donc
Comme
a k = Q A,B b k + Q A a k =⇒ a k = (I − Q A ) −1 Q A,B b k
b 1 = (I B − Q B )1 B − Q B,A 1 A + Q B,A (I − Q A ) −1 ((I A − Q A )1 A − Q A,B 1 B ) = (I B − M)1 B )
on trouve
b k = (Q B + Q B,A (I − Q A ) −1 Q A,B )b k−1 =⇒ b k = M k−1 ((I B − M)1 B )
où M = Q B + Q B,A (I − Q A ) −1 Q A,B est la matrice de transition de la ”chaîne
induite” sur B (où ”complement de Shur” de A en Q).
Quand B = A, on retrouve b k = Q k−1
B q B.