Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
t ↦→ λte −λt est une solution particulière de (∗) et t ↦→ Ce −λt (où C ∈ R) est la solution
générale de p ′ 1 (t) + λp 1 (t) = 0 donc t ↦→ (C + λt) e −λt est la solution générale de (∗).
De plus, on doit avoir p 1 (0) = 0 donc C = 0 et on a p 1 (t) = e −λt λt.
→ Raisonnons alors par récurrence. Supposons que pour j dans N, p j (t) = e −λt (λt) j
j!
et
déterminons p j+1 . On a :
{
p
′
j+1 (t) = λ (p j (t) − p j+1 (t))
p j+1 (0) = 0
⇔
{
p
′
j+1 (t) + λp j+1 (t) = e −λt tj λ j+1
j!
(∗∗)
p j+1 (0) = 0
t ↦→ Ke −λt (où K ∈ R) est la solution générale de p ′ j+1 (t) + λp j+1 (t) = 0 et
( )
t ↦→ λj+1 t j+1
e −λt est une solution particulière de (∗∗) donc t ↦→ K + λj+1 t j+1
e −λt est la
(j+1)! (j+1)!
solution générale de (∗∗). Or p j+1 (0) = 0 d’où K = 0 et on obtient : p j+1 (t) = (λt)j+1
(j+1)! e−λt
ce qui recupère la distribution Poisson (en eclaircissant la provenance de la terminologie
”processsus de Poisson”).
Nous venons de redémontrer que pour un processus de Poisson (X t ) t≥0
d’intensité λ > 0,
la variable aléatoire X t suit pour tout t > 0 une loi de Poisson de paramètre λt.
Exercice 1.4.2 Recalculez les probabilités de transition du processus de Poisson par la
méthode des fonctions génératrices.
Remarque : 1) La solution recursive ci-dessus s’appuie sur la structure triangulaire
du générateur, et peut-être aussi implementé pour tout processus de ”Poisson composé de
naissance pure” (permettant la naissance de jumeaux, etc).
Le calcul peut-être simplifié en començant par la substitution p k (t) = e −λ kt P k (t), ou λ k
est le taux total de naissance en état k. Il s’avère que P j (t) sont des polynômes, faciles a
obtenir recursivement.
Exercice 1.4.3 Recalculez les probabilités de transition du processus de Poisson par cette
substitution.
Solution : Les équations de Kolmogorov pour le processus de Poisson deviennent après
la substitution : {
P
′
0 (t) = 0, P 0 (0) = 1
P ′ j (t) = λP j−1 (t),P j (0) = 0 si j ≠ 0
Il suit que P 0 (t) = 1, et integrations succesives donnent P j (t) = (λt)j
j!
.
1.4.3 Exercices
1. Soit X = (X t ; t ≥ 0) une chaîne de Markov en temps continu sur l’ensemble S =
{1, 2, 3}. Supposons que la matrice infinitésimale (de taux de transitions) de X est
donnée par
⎛
G = ⎝
−7 1 6
2 −6 4
1 2 −3
⎞
⎠