Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

Table des matières
1 Rappels sur les processus de Markov 4
1.1 Introduction aux processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Champs et processus aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Les processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Marches aléatoires et récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Moments et cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 La méthode du conditionnement sur le premier pas . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Les systèmes linéaires associés à quelques problèmes de premier passage
pour les chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 La ruine du joueur pour la marche aléatoire simple . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Les marches aléatoires sur (−∞, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 Problèmes de premier passage sur un intervalle semi-infini . . . . . . 18
1.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.8 Récurrences et équations differentielles linéaires à coefficients constants 23
1.2.9 Récurrences et équations differentielles linéaires à coefficients polynomiaux
(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Le processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Rappels sur la distribution de Poisson et exponentielle . . . . . . . . 26
1.3.2 Le processus de Poisson multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Processus de comptage et renouvellement en temps continu . . . . . . 28
1.3.4 Le processus de Poisson unidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.5 Le processsus de Poisson comme limite des processus de Bernoulli . . 30
1.3.6 Le processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Les semigroupes de Markov homogènes; le calcul de l’exponentielle des operateurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.1 Résolution des èquations Chapman-Kolmogorov pour le processus de
Markov à deux états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2 Résolution des èquations de Chapman-Kolmogorov pour le processus
de Poisson; le calcul de l’exponentielle des matrices triangulaires (*) . 37
1.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Problèmes de premier passage/Dirichlet pour les chaînes et processus de Markov 42
1.5.1 Les chaînes/processus de Markov absorbants . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.2 Les espérances des temps d’atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.3 Les probabilités d’absorbtion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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