Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
(d) π = ( 2
13 , 3
13 , 8
13 )
(e) La loi conditionelle de T 3 = inf{t ≥ 0 : X t ≠ 3}, en sachant que X 0 = 3, est la loi
exponentielle à paramètre 3 (et moyenne 1/3).
(f) En conditionnant sur le premier saut, nous trouvons :
x 1 = 1 7 + 1 7 x 2
x 2 = 1 3 x 1 + 1 6
donc le même système. De lors, x 1 = 7
40 , x 2 = 9
40 .
(g) Conditionnant au moment du premier saut
E[T (3) |X 0 = 3] = 1 3 + 1 3 x 1 + 2 3 x 2 = 1 3 + 1 7
3 40 + 2 9
3 40 = 1 7 + 18
(1+
3 40 ) = 1 3
(h) Soit
⎛
˜G = ⎝
−7 1 6
2 −6 4
0 0 0
le générateur du processus absorbé en 3, et soit
( )
−7 1 ˜G =
2 −6
⎞
⎠
13
8 = 13
24
le générateur du processus observé seulement en 1, 2. Diagonalisons ˜G = L −1 Diag(λ i )L,
où les lignes de la matrice L sont les vecteurs propres à gauche. Ici, les valeurs
propres, données par λ 2 + 13λ + 40 = (λ + 8)(λ + 5) = 0 sont −8 et −5 avec
vecteurs propres L =
(
2 −1
1 1
)
. Finalement,
˜P(t) = L −1 Diag(e λ i t )L
(i) Les probabilités demandées satisfont ¯P i (t) = 1 − P i,3 (t), i = 1, 3, où P i,3 (t) sont
les probabilités de transition du processus absorbé avec générateur
⎛ ⎞
−7 1 6
˜G = ⎝ 2 −6 4 ⎠
0 0 0
A. Par la question precedente, :
( )
P1 (t)
= L −1 Diag(e λ i t )L1,
P 3 (t)
ce qui donne
( )
P1 (t)
= 1 P 3 (t) 3
( ) ( ) ( )
1 1 e
−8t
0 2 −1
−1 2 0 e −5t 1 = 1 1 1 3
( )( ) (
1 1 e
−8 t +2e
−1 2 2e −5 t =
−5t /3 + e −8 t
4e −5t /3 − e −8 t /