Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

et alors c = −2 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
= −i − 1 + 2 i
t i
(d) C’est une équation différentielle nonhomogène avec des racines confondues egales
a 1 de l’equation quadratique attachée, alors nous aurions :
t i = ˜t i + A 1 + A 2 i, ˜t i = c 1 i + c 2 avec c 1 i + c 2 = 2(c 1 i − c 1 + c 2 ) + i − 1
2.
3.
4. (a) La matrice de transition est :
et alors c 1 = 2c 1 + 1 et c 1 = −1
⎛
P =
⎜
⎝
c 2 = −2c 1 + 2c 2 − 1 et c 2 = 2c 1 + 1 = −1
˜t i = −i − 1 Finalement,
t 0 = = 0 = −1 + A et A = 1
t i
= −i − 1 + 2 i
0 1 0 ... 0 0 0
0 0 1 0 ... 0 0
0 0 0 1 0 ... 0
1
2n−2
1
1
2n−2
1
2n−2
2n−2
... 0 ...
... 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 ... 0 1 0
(b) π k =
k π 2(n−1) n, ∀k < n et la symmetrie π k = π 2n−k impliquent π n (1 + (n−1)n ) = 2(n−1)
π n (1 + n ) = 1 et π 2 n = 2 , π k
2+n k =
(n+2)(n−1)
(c) E S [X n ] = n
(d) t n = 1 2+n
π n 2
5. (a) Soit (Gf) x = p (f x+1 − f x ) + q (f x−1 − f x ) (formellement, la même expression
comme dans le cas ”non-paresseux”, sauf que maintenant p + q < 1.
Les équations sont respectivement :
(Gp) x = 0, p K = 1, p 0 = 0
(Gf) x = 0, f K = K, f 0 = 0
(Gt) x + 1 = 0, t K = 0, t 0 = 0
(Gc) x + x = 0, c K = 0, c 0 = 0
(Gw) x = (a −1 − 1)w x , w K = 1, w 0 = 1
⎞
⎟
⎠
Ces sont exactement les mêmes équations comme pour une marche non-paresseuse,
sauf que l’opérateur est different.