Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

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FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT Demo : a) Comme A k est la somme de k variables exponentielles, elle a la densité Gamma Γ(λ, k) donnée par : f Ak (t)dt = (λt)k−1 (k−1)! e−λt λdt. On a aussi : f Ak (t)dt = P{A k−1 ≤ t, A k ≥ t, A k ≤ t + dt} = P{A k−1 ≤ t, A k ≥ t}λdt = P{N t = k − 1}λdt b) Calcul direct pour k = 0, 1, ... Exercice 1.3.5 Soit (N t ) t≥0 un processus de Poisson unidimensionel d’intensité λ > 0, défini par la Définition 1.3.1. Montrez que les variables aléatoires suivantes : a 1 , qui réprésente le temps jusqu’à la première arrivée, et a 2 , qui réprésente le temps entre les deux premières arrivées, sont indépendantes et exponentielles de paramètre λ. Outrement dit, pour tout t 1 > 0, t 2 > 0, P{a 1 > t 1 , a 2 > t 2 } = e −λt 1 e −λt 2 Exercice 1.3.6 La distribution exponentielle et l’independance des intervales a i entre les arrivées implique la propriété de Markov. Plus specifiquement, montrez par exemple que : Première méthode : P[N t+s ≥ k + 1|N t = k, N t−s1 = k, ∀s, s 1 > 0] P[N t+s ≥ k + 1|N t = k, N t−s1 = k] = P[a k+1 ≤ t + s − A k |A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ] = P[t − A k < a k+1 ≤ t + s − A k , A k ≤ t − s 1 ] P[A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ] ∫ t−s1 x=0 = f A k (x)P[t + s − x ≥ a k+1 > t − x]dx ∫ t−s1 f x=0 A k (x)P[a k+1 > t − x]dx = ∫ t−s1 x=0 f A k (x)(e −λ(t−x) − e −λ(t+s−x) dx ∫ t−s1 x=0 f A k (x)e −λ(t−x) dx = ∫ t−s1 x=0 f A k (x)e −λ(t−x) (1 − e −λs )dx ∫ t−s1 x=0 f A k (x)e −λ(t−x) dx = 1 − e −λs Rq : Pour d’autres distributions, cette miraculeuse simplification n’est pas vraie 2 . Par consequent, le processus de Poisson est le seul processus de comptage Markovien. Deuxiéme méthode (*). Pour démontrer des proprietées comme ci dessus, on utilise souvent la propriété ”d’oubli de la durée de la dernière attente” de la loi exponentielle au temps t (voir Rappel ??). Ici on a : P[a k+1 ≤ t + s − A k |A k ≤ t − s 1 , a k+1 > t − A k ] = P[a 1 ≤ s|A 0 = 0] = 1 − e −λs 1.3.5 Le processsus de Poisson comme limite des processus de Bernoulli On peut aborder l’étude du processus de Poisson unidimensionel en discretisant le temps : on partagera chaque unité de temps en n unités ”infinitesimales” de longueur h = 1/n, et en ignorant la possibilité des arrivés doubles. Ça remplace le processus d’arrivées en temps 2 La réponse depandra de t et de s 1 (on l’obtient en utilisant la formule ¯F ai (x) = e − R x 0 h(y) dy où h(y) = f ai (x)/ ¯F ai (x) est le ”taux de termination= hazard rate” de a i ).
continu par un processus de Bernoulli (lancés d’une monnaie) en temps discret. En suite, en laissant n → ∞ ⇐⇒ h → 0, on arrive au processus de Poisson. Le fait que le nombre (binomial) d’arrivées des succes dans un processus de Bernoulli en temps discret converge vers processus de Poisson en temps continu est une consequence de l’exercice suivant : Exercice 1.3.7 Considerez un processus d’arrives independentes dans des unités de temps de longueur h = 1/n, avec la probabilite d’une arrive per unite de temps egale a λ. 1. Montrez que la limite quand n → ∞ d’une distribution binomiale B(n, p) avec p = λ n est la distribution de Poisson avec espérance λ. 2. Soit N n (i) i = 1, 2, ... les nombres d’intervalles separant les arrivées consecutives. Montrez que les temps T n (i) = N(i) n entre les arrivées consecutives convergent vers des distributions exponentielles de paramètre λ, pour i = 1, 2. n 3. Considerez un processus d’arrivées independentes, avec la probabilité d’une arrive per unite de temps (ou ”taux”) egale a λ. Trouver la distribution jointe des nombres d’arrives dans deux unitées de temps consecutives, en subdivisant chaque unitée en n periodes d’observation et en prenant n → ∞. 1.3.6 Le processus de Poisson composé Définition 1.3.5 Le processus de Poisson composé ∑N t S t = Z i (1.9) pc i=1 est une somme des variables aléatoires i.i.d.(independentes et idéntiquement distribuées) Z i , où N t est un processus de Poisson, independant de Z i . Rqs : 1) Outrement dit, il s’agit des marches aléatoires avec increments qui arrivent après des temps exponentiels. 2) Si Z i ont une distribution discrète p = (p i , i ∈ Z), il s’agit simplement des marches aléatoires sur Z, mais en temps continu; si en plus p i ≠ 0 ssi i est un voisin de l’origine, alors le processus (1.9) est une marche aléatoire simple. In the next exercise we obtain formulas for the expectation, variance and cumulant generating fonctional of a compound Poisson process S t (with bounded jumps) whose jumps’ density is f(x). Exercise 3.1 a) Show that ES 1 , Var S 1 for a compound Poisson process are given by : ES 1 = λEX 1 Var S 1 = λE(X 1 ) 2 b) Compute the fonction génératrice des moments Ee θSt compound Poisson process S t (assuming bounded jumps) and show that c(θ) is given by : Z ∞ c(θ) = λ(M X1 (θ) − 1) = λ( e θ=x f(x)dx − 1) (1.10) 0 Solution 3.1 a) Conditioning on the number of jumps we find ∞X −λ (λ)j ES 1 = e j! j=0 Z jEX 1 = EX 1 EPo(1) = λ xf(x)dx
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Note : For Cramer Lundberg processe
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(ρ is sometimes called ”geometri
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The unconditional distribution of a
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Let b e (x) = ¯B(x)/m 1 = ∑ I ˜
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